"HYPATIA, la Filósofa"

HYPATIA, LA FILÓSOFA / nº 4

2010-01-09T00:42:00.004-03:00

HYPATIA, LA FILÓSOFA
UNA REVISTA DE PROFESORES Y FUTUROS PROFESORES

C.A.I.E. DEL I.E.S. Nº2 “MARIANO ACOSTA”
AÑO 3, Nº 4 – NOVIEMBRE DE 2009

Coordinador C.A.I.E. DEL I.E.S. Nº 2
Prof. Carlos Trapani

Equipo de redacción
Prof. Liber Aparisi
Prof. Gustavo Piñeiro
Prof. Carlos Trapani

Escriben en este número
Liber Aparisi
Angel Sergio Pinedo
Gustavo Piñeiro
Ariel Puntano
Pablo Rodriguez

Contacto
Hypatia.lafilosofa@gmail.com
Hypatialafilosofa.blogspot.com

Hypatia editorializa: Elogio de la Inseguridad

2010-01-09T00:34:00.004-03:00

Elogio de la Inseguridad

En estos días de exabruptos y patotas “pro-seguridad” y groseras maniobras “anti-garantistas” no parece muy sensato reflexionar serenamente sobre “La Inseguridad”… por eso lo haremos.

Pareciera ser que bajo los influjos de no se sabe qué maleficio de racionalidad conservadora, la opinión publicada nos pone ante una falsa disyuntiva en la cual a toda presencia de lo “aún no validado” debe corresponderle una acción “invalidante”, o bien, si algo de “lo nuevo” se mueve… lo ya establecido debiera “inmovilizarlo”.

Así, nuestra sociedad porteña se debate -ante cada estímulo propalado por los multimedios concentrados- entre la persistencia de la incomodidad que supone la emergencia de lo diferente y la definitiva ataraxia que promete su aniquilación.

En este contexto, créannos, es muy difícil sostener el flujo de la sutil afirmación de lo indeterminado… tan vital para que lo sustancial del acto educativo, la transmisión cultural, se pueda abrir paso.

Las generaciones en contacto, debemos sostener un diálogo en el que los mayores ofrecemos a los más jóvenes lo mejor de lo heredado… porque los consideramos nuestros sucesores válidos, porque afirmamos la continuidad de la vida social, porque lo merecen… y porque es su derecho!!!

Ahora bien, si nos dejamos llevar por las editoriales monopólicas… nada es más amenazante a nuestra “tranquilidad” que un grupo “inquieto” de jovencitos pobres!!! Y ocurre que exactamente eso: grupos de inquietos jóvenes, mayoritariamente pobres, son nuestros alumnos. En ese orden de cosas que nos proponen… ante ellos ya no estamos seguros, nuestra comodidad interdicta por su presencia nos llevaría al temor, y la ansiedad que nos genera su impredecible existencia… justificaría el más severo disciplinamiento a nuestras normas: vivirán a nuestra imagen y semejanza … o nada!!!

Y esto ya no es educación, es represión o peor aún… exclusión.

La educación supone, de parte nuestra, asumir no sólo la responsabilidad que la sociedad tiene por haberlos traído al mundo, sino también afirmar nuestra decisión -en tanto docentes- de haberlos elegido para que continúen ellos todo lo que nosotros hemos sido capaces de hacer. Sí, todo. Entiéndase bien: estamos comprometidos con ellos, porque todo nuestro mundo quedará en sus manos.

A nuestra elección, ellos ¿deberían corresponder con… sumisión, resignación, adaptación, filial rebeldía…? No estamos seguros!!! Pareciera que en nuestra historia social reciente, cada una de estas posiciones juveniles ya fue experimentada... Y los futuros que sucesivamente llegaron, esto sí es seguro, no fueron mejores!!!

Y los jóvenes aprenden. Tomaron -en los relativos términos de una “identidad juvenil”- todas las imaginadas posiciones. Todas. Menos una, claro, la indiferencia.

He aquí un tema: necesitamos afirmar lo aún indeterminado, cuidarlo y formarlo, mientras nuestros jóvenes parecieran no estar interesados en definirse y proyectarse. Si el futuro va a ser como el presente, o aún peor, no lo quieren. La sociedad “adulta” no está preparando para ellos un mundo mejor, sino -por el contrario- está más bien empecinada en mostrarles que aún en este (que no es gran cosa) ellos sobran, están de más, no los queremos aquí… porque nos muestran… lo que, como sociedad, hicimos!!!

Hasta aquí, apenas una modesta visita a la realidad con la mirada de quienes no nos sentimos seguros de que la “autoritaria utopía de la seguridad” sea algo bueno…

En términos más domésticos aún, no tenemos por seguro que el gasto en pro de la “seguridad” sea preferible a la inversión en “educación”. No nos convence que el deterioro edilicio, ni el desapego por el cuidado de los bienes comunes puedan detener el avance de los proyectos del Instituto, como su “Centro de Formadores -C.A.I.E.- Prof. Avelino Díaz” y su “Museo de Ciencias y Tecnologías”.

Ni siquiera tenemos por nuestra la certeza de que empobrecer la escuela pública y enriquecer la empresa educativa privada (sea confesional, de colectividad o, simplemente, comercial), logre por fín separar los pocos iguales de los muchísimos diferentes.

Estamos inseguros… dudamos de que llevar a juicio a los legítimos representantes sindicales de los docentes logre escarmentarnos… seguiremos enseñándoles a respetar la educación pública. Sostendremos con energía las acciones necesarias para que quienes no son solidarios con todos sus semejantes no se lleven los laureles del triunfo.

Tenemos dudas sobre la afirmación de que no hay un futuro mejor por construir, y mientras dudamos… construimos!!!

Creemos que es incierta la perogrullada que repite, cual letanía multicéfala, que las instituciones -aún las centenarias- no se modifican. Eso no es seguro…

En nuestra tozuda afirmación de lo indeterminado, en nuestra pertinaz vocación de pugnar por la igualdad y la libertad de todos, dudamos de lo que parece o busca eternizarse como “seguro”… para unos pocos. Y hasta sospechamos del destino que tendrá lo “seguro”, a juzgar por la sentencia que le dictara el juicio de la historia, según el refrán popular.

Desde este lado de la sociedad, a muchos educadores nos aterraría colaborar en la búsqueda de “seguridad” por conservar lo (¿mal?) habido. Desde el lado de los que queremos que el futuro sea mejor para todos, sentimos más amigable la vivencia de la incerteza en la inexorable repetición del presente.

Elogiamos la inseguridad de lo que pretende eternizarse… porque queremos la igualdad de lo que busca transformarse. Y si es en algo bueno, mejor!!!

Pero no es seguro…

Las instituciones educativas y el perfil profesional docente

2010-01-09T00:29:00.002-03:00

Las instituciones educativas y el perfil profesional docente
por Pablo Rodriguez

La Real Academia Española define al profesional como la “persona que ejerce su profesión con relevante capacidad y aplicación” . La pregunta que surge es, ¿qué significan realizar una actividad con relevante capacidad y aplicación? O, singularizando la cuestión: ¿Qué implica decir que el docente es un profesional? En principio, podemos decir que “profesional” no es quien puede desarrollar sus actividades en forma inobjetable sino quien puede hacerlas en concordancia con los parámetros establecidos por sus colegas en función del devenir histórico y del “estar siendo” de la actividad. Parte de lo que determina a una actividad como profesional es la unificación de los propósitos que dan coherencia y cohesión a las acciones que los miembros de la organización desarrollen. El presente artículo intentará analizar cuáles son las singularidades de la organización educativa que han obstaculizado y/o favorecido el desarrollo de una identidad profesional docente.
Muchas de las características actuales que posee la actividad docente vienen dadas por la estructura de la organización en la que ha desenvuelto históricamente la mayor parte de sus actividades: la escuela. Cabe destacar que cuando se hace referencia a la “estructura de la organización escuela” no se restringe a la distribución edilicia -que es singular de cada una de las escuelas- sino de la estructura de relaciones que se dan entre todos los recursos de la organización. En particular, las conductas de los miembros se ven influenciadas por una serie de operadores organizacionales, que de tanto repetirse, organizan. La manera en que estos operadores han sido -o no- modificados da cuenta de los rasgos de identidad de la labor del docente
El devenir histórico de las sociedades modernas arrastró en su interior un proceso de reformulación de estos contratos fundacionales (tanto de las instituciones educativas como de otras: instituciones de salud, sin fines de lucro, beneficencia, etc) por diversas modificaciones sociales, por lo que las funciones de la escuela se han ampliado, modificado, restringido, anulado, diversificado, etc. Sin embargo en el caso particular de la educación, debido a la centralidad de su función en el seno de las sociedades, la tensión entre conservación y cambio sigue siendo parte de su naturaleza.
Las institución educativa es, por caso, una de las instituciones sociales que más se han aferrado a su contrato fundacional y a las estructuras de funcionamientos por él impuestas. De hecho -y sólo por citar una arista del hecho educativo- un aula de principios de siglo no varía mucho de un aula de fines de siglo, en lo relativo a estructura y disposición de quienes participan. La historia del sistema educativo, y por ende, de las escuelas, está signada por reformas más no por transformaciones; los cambios son de orden fenoménico, no afectan las estructuras de relación entre los actores entre sí y para con el sistema, no son instituyentes de nuevas modos de relación. Es desde este lugar que se dice que las instituciones educativas son organizaciones construidas para no cambiar. Lo anteriormente mencionado es una breve introducción que permite describir con fundamento cual es la cultura de la organización escolar, y por ende, cuales son los rasgos principales de la labor docente.
La estructura y el funcionamiento de la escuela está centrada en la lógica de la tarea áulica. Si bien es en el aula donde se produce la mayor y (quizá) la más importante parte del proceso de aprendizaje – enseñanza, la organización de la escuela se basa en la factibilidad de que cada docente paute las actividades áulicas que desarrollarán los alumnos, en tiempos determinados interna y externamente. De esta forma, el modelo de dirección se encuentra reducido a la función de control burocrático -tanto para con el docente como para con el sistema educativo- y a la función de coordinación y articulación de las coordenadas espacio – temporales de la institución:

El modelo de la administración escolar define como unidades ejecutoras a los distintos niveles y organizaciones que funcionan en un sistema educativo. En tal sentido, un centro educativo ejecuta, implementa, cumple políticas educativas pero no las decide, ni las diseña. Lo mismo puede señalarse “hacia abajo” con los profesores y hacia “arriba” con los distintos niveles de supervisión. Según este modelo, el centro educativo, en tanto establecimiento, administraba la enseñanza, tomando objetivos, cumpliendo las decisiones de otros, ejecutando políticas.

Esto se manifiesta en un plano que podríamos llamar intranivel, es decir, dentro de cada uno de los niveles previstos por el sistema educativo, como también en el plano internivel, es decir, entre cada uno de los niveles de enseñanza, lo que puede definirse como un proceso recursivo de autosimilitud. No existen tiempos previstos para la reflexión y acción colectiva (aprendizaje colectivo) y lo institucional sólo se ve reflejado en las variación de las relaciones de poder que definen las estructura jerárquicas, es decir, en el vaivén que plantean en el espacio entre la legalidad y legitimidad de los espacios de poder.
Sagastizabal y Perlo (2006: 28) proponen las siguientes categorías de análisis que permiten describir la cultura de la organización escolar, a saber:
• Interacción social en la escuela;
• Producción del conocimiento;
• Organización del tiempo y del espacio.
La interacción social en la escuela puede definirse a partir de su negación. La tarea docente es una actividad solitaria, centrada -y por ende aislada- en lo desarrollo áulico. Esto no es solidario al intercambio de las experiencias laborales realizadas, el análisis de los resultados para tener en cuenta una futura implementación. Por supuesto es menester aclarar que existen causas fuera de la organización escolar (estructura salarial, estructura de tiempos y espacios remunerados fuera del aula, posibilidad de acumulación de horas – cátedra en la misma institución, etc). Por ello, y siendo la educación una actividad que se caracteriza por una presión social muy fuerte, la soledad del trabajo docente alimenta la argumentación de que nada es posible hacer porque todo tiene sus orígenes en el deficitario funcionamiento del sistema educativo, o en las carencias de las familias, es decir, la existencia onmipresente de un enemigo externo a sus intereses que dificulta su labor. Desde ya, la observación de la actividad del docente, se ve sesgada por la imposibilidad de establecer criterios de evaluación válidos, debido a la sensación de “no sentirse parte del problema” lo que lleva a pensar que no es parte de la solución. Ve su trabajo como el único posible en tal situación. De esta forma, no es el propio docente quien determina que es lo sustancial a ser observado de su labor, sino que esos criterios le son impuestos externamente.
La producción del conocimiento por parte de los docentes pone en relieve la cuestión del profesionalismo. La resistencia del docente a la escritura de lo realizado conlleva la no posibilidad de contar con un cuerpo de conocimientos propios de su actividad, lo cual viene unido a la falta de tiempo dedicado a la práctica analítica. Como consecuencia, el diseño curricular es visto como una producción ajena, los criterios de evaluación sobre su labor no nacen de la propia reflexión y es por ello que, los objetivos y metas institucionales se confunden con cuestiones generales de la labor docente, subyacentes en los imaginarios sociales acerca de lo que la docencia debe ser, tomados desde una visión anacrónica y poco específica. A esto se suman cuestiones referidas a metas y objetivos ambiguos desde el nivel central y sucesivas reformas que no lo incluyen desde la propuesta sino desde la concreción. Resulta de ello que las prácticas son desarticuladas y vulnerables al contexto; la frase “cada maestro con su libro” hace alusión a un desempeño regular de los docentes. El marco organizacional no está involucrado con sus prácticas porque no es posible identificar una conexión entre los conocimientos que se generan individual y colectivamente.

La organización del tiempo y del espacio es quizás, uno de los rasgos más peculiares que constituyen la cultura escolar. La idea Sarmientina de uniformidad del sistema educativo, es decir, que en un punto determinado de la línea de tiempo, en todas las escuelas se esté enseñando lo mismo, parece haber sobrevivido a todos los embates socio-políticos, y ha dotado a la institución escolar de una estructura temporal cíclica en sus actividades. Los ritos que marcan el inicio y fin de las clases son rígidos (a tal punto que el Estado determina estas fechas a través del Calendario Escolar, que tiene carácter legislativo) y no se corresponden, naturalmente, con los conceptos de aprendizaje continuo. De hecho, estas concepciones del aprendizaje y el tiempo habilitan la posibilidad de que el saber no se encuentre en su totalidad en la institución escolar, y más aún, que el docente no sea el único poseedor del saber, determinando una marcada pauta entre el aprendizaje escolar y otro tipo de aprendizajes. Existe cierta discontinuidad de las actividades escolares (recesos de invierno y verano) que favorece al reconocimiento de otras fuentes de información por fuera de la institución escolar. los espacios de aprendizaje se restringen, en la consideración de todos sus actores, al aula: el recreo (del aprendizaje) se hace fuera del aula, en la sala de profesores; los espacios no áulicos no se utilizan para aprender (lo escolarmente válido) o para intercambiar información (socialmente) valiosa, sino para descansar antes de emprender nuevamente el proceso. Y es justamente la posibilidad de intercambio lo que da a la información un valor agregado (Sérieyx H; 1994)

La información se convierte hoy en el recurso clave que, por su naturaleza, su tratamiento y su intercambio, valoriza y trasciende todos los otros. Lo que hace a la riqueza de la información es el “hiperintercambio” transversal entre varios actores que pertenecen a numerosas redes. De allí el pasaje de una organización compartimentada y discontinua a una organización fluida y continua: de una organización balcanizada a una organización que favorece las corrientes, las relaciones, las sinergias, las complementariedades, las convergencias, de una organización que levanta muros a una organización que tienda puentes.

En síntesis, muchas son las características estructurales y estructurantes de la institución educativa que han impedido “crear capacidad profesional e institucional en todos los rincones del sistema” . Emerge como desafío de las instituciones escolares establecer un modelo de gestión que le permita desarrollar diversos estadios de autonomía institucional y profesional, tendiente al aprendizaje colectivo y a la conformación de una identidad profesional docente.

Bibliografía consultada

AAVV. Competencias para la profesionalización de la gestión educativa. IIPE Buenos Aires – Ministerio de Educación de la Nación, en http://www.iipe-buenosaires.org.ar/difusion/publicaciones/publicaciones_detalle.asp?LibroID=6

CARRIEGO, CRISTINA. Los desafíos de la gestión escolar: una investigación cualitativa. Buenos Aires: 2005. La Crujía – Stella.

ETKIN, JORGE; SCHVARSTEIN, LEONARDO. Identidad de las organizaciones: invariancia y cambio. Buenos Aires: 2005. Paidós.

GORE, ERNESTO. Conocimiento colectivo: la formación en el trabajo y la generación de capacidades colectivas. Buenos Aires: 2003. Granica.

SAGASTIZABAL, MARÍA DE LOS ANGELES (et. al.) Aprender y enseñar en contextos complejos: multiculturalidad, diversidad, fragmentación. Buenos Aires: 2006. Novedades Educativas.

SCHVARSTEIN, LEONARDO. Diseño de las organizaciones: tensiones y paradojas. Buenos Aires: 2007. Paidós.

Asíntotas Funcionales (1° parte)

2010-01-09T00:18:00.001-03:00

Asíntotas Funcionales (1° parte)

Ariel Puntano

En general cuando se definen las asíntotas de una función se cometen errores por querer ser “prácticos” o “didácticos” y de esta manera se crean ciertos “dogmas” acerca de las asíntotas. ¿Todas las asíntotas son rectas? ¿las asíntotas nunca cortan la función? ¿todas las funciones racionales tienen asíntotas?

§ 1. Introducción

En la enseñanza de la matemática, en el nivel medio o secundario, se estudian las asíntotas de algunas funciones. En general se define qué es una asíntota, cómo se calculan y en particular se hace hincapié en las asíntotas de funciones racionales.

Pero algunas definiciones no son exactas o se prestan a confusión, otras no son completas. Es cierto que se necesitan algunos conocimientos previos que en el nivel medio no se pueden enseñar (por una cuestión de tiempos y complejidad) como es el “acercamiento entre curvas”, pero si se pueden brindar algunos ejemplos de funciones en las que sus asíntotas son particulares y ampliar el criterio acerca del tema.

En el presente trabajo desarrollaré algunas definiciones, representaciones gráficas, ejemplos y ampliaré algunos conceptos con el propósito de proporcionar una herramienta de trabajo para el docente del nivel medio.

§ 2. Algunas definiciones de asíntotas

Definición Nº 1:

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Definición Nº 2:

Una asíntota es una línea recta o curva a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque.

Definición Nº 3:

Sea una función real de variable real definida en el intervalo o respectivamente , tal que:

(1) , que satisface:

(2) , o respectivamente:

(3) .

Entonces se dice que, para (respectivamente: ), la curva es una curva asintótica, o simplemente una asíntota para la curva .

Analicemos: las definiciones 1 y 2, ambas se contradicen cuando una define asíntota como recta (definición Nº1) y la otra como recta o curva (definición Nº2). La definición Nº2 afirma que la asíntota se acerca a la función sin llegar jamás a tocarla. Veremos ejemplos en los cuales las asíntotas son tanto rectas como curvas, también existen funciones en las que sus asíntotas cortan la función. Por ello la definición Nº 3 es la más apropiada y correcta, además con el acompañamiento del docente los alumnos pueden comprender ésta definición sin inconvenientes.

§ 3. Asíntotas rectilíneas

Clasificaremos las asíntotas rectilíneas (las llamamos rectilíneas puesto que luego veremos las asíntotas curvas) en:

· Verticales

· Horizontales

· Oblicuas

Tendremos en cuenta la definición Nº 3

Asíntotas verticales:

x = a es asíntota vertical de f (x) ó lím f (x) = ¥

El límite puede ser +¥ o -¥ si x tiende a a por la derecha o por la izquierda.

Asíntotas oblicuas y horizontales:

presenta asíntotas rectilíneas oblicuas.

En tal caso se tiene:

con , respectivamente: .

La recta es una asíntota oblicua para (asíntota rectilínea derecha) o respectivamente: (asíntota rectilínea izquierda). Cuando L, es una asíntota rectilínea derecha e izquierda simultáneamente se dice que L es una asíntota rectilínea.

Si m = 0 => es asíntota horizontal

Método de cálculo:

Supongamos

y . mÎR(respectivamente para ).

La curva , tiene una asíntota rectilínea derecha y dicha asíntota tiene por ecuación: , donde:

En efecto: Si la curva admite asíntota derecha, ésta tiene por ecuación: y se tiene:

con .

Por lo tanto tenemos:

tomando límite:

y por lo tanto: .

Por otra parte se tiene:

y como , se tiene:

De esta manera obtenemos el método de cálculo de las asíntotas oblicuas.

§ 4. Algunos ejemplos de funciones y sus asíntotas

A continuación veremos algunos ejemplos que nos permitirán ampliar nuestra perspectiva acerca de una asíntota funcional, teniendo en cuenta las definiciones anteriores y las aclaraciones que hicimos al respecto.

Funciones exponenciales

En gráfico se representan las siguientes funciones:

a) f(x) = - 2(1/5)^x – 2 Dom: R

Asíntota horizontal y = - 2

b) f(x) = - 2. 5^x – 1 Dom: R

Asíntota horizontal y = - 1

c) f(x) = 2 . (1/5)^x + 2 Dom: R

Asíntota horizontal y = 2

d) f(x) = 2 . 5^x + 1 Dom: R

Asíntota horizontal y = 1

Podemos observar que estas funciones tienen asíntotas horizontales.

Funciones logarítmicas

En gráfico se representan las siguientes funciones:

a) f(x) = log (x + 3) Dom: (-3; +¥)

Asíntota vertical x = - 3

b) f(x) = log (x + 1) Dom: (-1; +¥)

Asíntota vertical x = - 1

c) f(x) = log x Dom: (0; +¥)

Asíntota vertical x = 0

d) f(x) = - log x Dom: (0; +¥)

Asíntota vertical x = 0

e) f(x) = - log (x – 1) Dom: ( 1; +¥)

Asíntota vertical x = 1

Las funciones logarítmicas tienen asíntotas verticales.

Funciones trigonométricas

f(x) = tg x Dom: R – {.....-p/2;p/2; 3 p/2;.....}

La función tangente tiene asíntotas verticales en x = .....-p/2;p/2; 3 p/2......, como es una función periódica T = p , desde menos infinito hasta más infinito con dicho periodo y en los puntos señalados presentará estas asíntotas verticales.

En el caso de la función f(x) = arc tg x, cuyo dominio es R, la misma tiene asíntotas horizontales en y = .....-p/2;p/2; 3 p/2.......

Continuará en siguiente número.

Bibliografía

ABDALA, C.; y otros.; Carpeta de Matemática 1. Aique , Buenos Aires,

2003.

ABDALA, C.; y otros.; Carpeta de Matemática 2. Aique , Buenos Aires,

2003.

BUSCHIAZZO, N.; y otros.; Matemática 2. Santillana , Buenos Aires,

2000.

PIÑEIRO, G.; Intuición y Verdad. En Hypatia, la filosofa . Número I. Año I,

Buenos Aires, 2007.

REPETTO, C.; Manual de Análisis Matemático. Tomo I . Ediciones

Macchi. 1ª edición, Buenos Aires, 1981.

SABA, J.; Estudio de las asíntotas de una función. U.C.V. Ingeniería,

Valencia.

Hypatia, Ágora y Alejandro Amenábar

2010-01-09T00:16:00.003-03:00

Hypatia, Ágora y Alejandro Amenábar
por Liber Aparisi

Los lectores de esta revista ya conocimos la historia de Hypatia.
Ahora, pronto podremos verla en el cine.

Es que el español Alejandro Amenábar filmó Ágora, la vida de nuestra amiga Hypatia de Alejandría.
La película ya se pudo ver en Mayo de este año en el marco del Festival de Cine de Cannes, donde fue largamente aplaudida. Y se estrenará en Septiembre en España, en Diciembre en EE. UU. y aún no se confirma una fecha para Argentina, pero: cruzamos los dedos.

Sobre Hypatia
Pueden releer la nota publicada en nuestro primer número -Hypatia, la filosófa. N°1, Septiembre 2007- que se consigue en nuestro Instituto, en el C.A.I.E. a cargo del Prof. Trapani o en su versión digital: http://hypatialafilosofa.blogspot.com

Sobre Ágora
El film está hablado en inglés y es una superproducción española que costó cincuenta millones de Euros y en lo visual no se diferencia en nada de aquellas de la industria de Hollywood.
Está en la web el trailer: un avance de la película, que impresiona.
Filmada durante 2008 en la isla de Malta, allí se recrea el Egipto del siglo IV D.C. donde transcurre la historia y la vida de Hypatia en Alejandría, en ese momento aún bajo dominio del Imperio romano.
El protagónico lo lleva Rachel Weisz, ganadora de un Oscar por El jardinero fiel.
El equipo técnico, de producción y de vestuario también lo conforman prestigiosos y ganadores de oscares.
Y como dijimos, Alejandro Amenábar es el director de la película. Pero atención: también es el co-guionista, co-productor y el compositor de la banda de sonido.
Dijo Amenábar: “es una película a medio camino entre el cine comercial y mi cine personal”.
Ágora, el título que lleva esta creación, hace referencia a las plazas en las polis griegas donde se realizaban las asambleas públicas con debates políticos, religiosos y culturales.

Y Sobre Alejandro Amenábar
Nació en Chile. Y un año después, en 1973, su familia se exilió en España tras el golpe de estado.
Antes de cumplir los veinte, sus cortometrajes ya habían sido premiados.
Y en 1996, su primer largometraje Tesis sólo en España tuvo un millón de espectadores.
Al año siguiente, su segundo film Abre tus ojos fue otro éxito. Y tuvo su remake pocos años después con una producción estadounidense de alto presupuesto pero sin la misma suerte (Vainilla sky, Tom Cruise)
Tomándose unos años para su tercer película, Los otros sigue siempre en la línea de los thrillers psicológicos. Esta vez con mayor presupuesto cuenta con Nicole Kidman para el protagónico. Es su primer trabajo rodado en inglés.
En 2004 presenta Mar adentro, una maravillosa película interpretada por Javier Bardem. Un drama que se basó en hecho real que conmovió a España. Con esta realización Amenábar tuvo el mas rotundo reconocimiento internacional.
Este año presentará Ágora, les dejo unas palabras del realizador: “Es sorprendente como un mundo tan legendario –la biblioteca de Alejandría, la Vía Canópica, El faro- parece haber sido olvidado, sobre todo por el cine. El empeño de todo el equipo es devolverle la vida con un enfoque hiperrealista, conseguir que los espectadores vean, sientan y huelan una civilización remota como si fuera su propia realidad”.

Sólo nos resta verla y hacer nuestra crítica.

Enigma policial

2010-01-09T00:14:00.005-03:00

Enigma policial
por Gustavo Piñeiro

Exactamente a la medianoche del 24 de diciembre de 1902 el millonario holandés, residente en Londres, Jan Van Neesper fue asesinado con su propio revólver, y que solía guardar bajo llave en un cajón en su habitación. Según Scotland Yard, sólo había cuatro sospechosos, las únicas cuatro personas que vivían con Van Neesper en su mansión: el chofer, el secretario, el jardinero y el mayordomo.

Todos los testigos coincidieron en decir que Van Neesper era un jefe tiránico y colérico y que era odiado por sus cuatro empleados. En el colmo de la maldad, Van Neesper les había prohibido pasar la Nochebuena con sus familias y los había obligado a presentarse en la mansión, bajo amenaza de despido, la noche del 24 de diciembre. Era obvio que uno de los cuatro había decidido vengarse de la peor manera.

Los sospechosos se llamaban, en orden alfabético, Black, Jones, Smith y White. Al ser interrogados, cada uno reconoció que había ahorrado cierta cantidad de dinero y que al día siguiente pensaba renunciar. Uno de ellos, no necesariamente el primero de los mencionados más arriba, había ahorrado 200 libras, otro había ahorrado 300, otro 400 y el restante (no necesariamente el último de los mencionados) había ahorrado 500 libras.

Los datos reunidos indicaban además que la noche del 24, uno de los sospechosos había llegado a la 8 de la noche, otro llegó a las 9, otro a las 10 y el restante a las 11. El investigador a cargo del caso Van Neesper fue el inspector Lestrade de Scotland Yard. En su libreta de apuntes Lestrade anotó:

1. White ahorró menos dinero que el sospechoso que llegó a la 10.
2. El mayordomo ahorró más dinero que el sospechoso que llegó a la 10.
3. Jones llegó a las 8.
4. El secretario, que no es el culpable, ahorró 500 libras.
5. El chofer no ahorró 200 libras.
6. Black no llegó a las 10.
7. Black, que no es el culpable, ahorró menos dinero que Jones.
8. El culpable llegó dos o tres horas después que el mayordomo.

¿Qué trabajo hacían Black, Jones, Smith y White? ¿A qué hora llegó cada uno de ellos a la mansión el día 24, y cuánto dinero había ahorrado? Y, sobre todo, ¿quién mató a Jan Van Neesper?

FE DE ERRATAS

En Hypatia nº 3, en la nota sobre la paradoja de Arrow (firmada por Gustavo Piñeiro) en el ejemplo inmediatamente posterior al enunciado de la condición 1, donde dice: "el 40% de los votantes opta por el ordenamiento ABC" debe decir "el 40% de los votantes opta por el ordenamiento BCA"

El alienado

2010-01-09T00:12:00.003-03:00

El Alienado
por Angel Sergio Pinedo

Yo lo observaba, acongojado y reflexivo. Yo lo observaba, impotente, de tan cerca que parecía lejos.
Él estaba concentrado como siempre, en su mundo, sin despegar la vista de esa hoja que lo apartaba del resto. Porque, en definitiva, yo creo que lo único que le gustaba era realizar esos extraños dibujos, mientras los demás hacían la tarea.

Ahí estaba su cuerpo: pequeño, frágil, inmóvil, carente de todo. Ya ni siquiera su pecho lucía desesperado, puesto que había culminado con los últimos y profundos intentos de respirar un algo, de respirar esa porción de realidad ideal que siempre le fue negada. Ya ni siquiera quedaba el humilde hilito de luz que siempre pendía de sus ojos, a pesar de llevar a cuestas la pesada carga de los pocos años y de los rústicos días. Ya ni siquiera gozaba de la gracia o el don de la despedida. Pues tan sólo se hacía presente en la trágica geografía del lugar el rostro de un niño muerto, la incomprensión fatal de aquel automovilista y el llanto sin remedio de ese inimputable compañero que se arrodillaba ante la sombra imperante de un destino ya marcado.
¡Y pensar que todo lo habían planeado de antemano! ¡Y pensar que ya lo habían hecho otras veces, y nunca había pasado nada! No más que unas horas en cana, unos cuantos gorras diciendo: “Vos vas a terminar mal, pendejo”, hasta que, finalmente, después de comerse aquel garrón, los largaban a la calle, como si nada... Pero hoy... Hoy fue distinto, trágicamente distinto…
Se habían encontrado temprano, a la misma hora de siempre, sólo que esta vez no iban a entrar a la escuela: había “otras cosas” que hacer, cosas más importantes que escuchar a la vieja de Literatura o al inabordable de Historia. Pero eso sí, por más que no entraran, nadie se tenía que enterar, ni siquiera los compañeros porque, a decir verdad, eran bastante buchones. Ellos no podían correr ese riesgo, ya estaban “junados”, y en cualquier momento los iban a expulsar definitivamente. Por eso, el punto de encuentro lo fijaron a unas veinte cuadras de distancia, en la esquina de la canchita, en ese lugar que ambos conocían.
Los dos fueron puntuales. De modo que tuvieron tiempo de sobra para cumplir con el reconocido ritual: guardar los delantales en sus mochilas pintarrajeadas, tomar unos vinos baratos en una inhóspita placita y fumar unos cuantos cigarritos nacionales expulsando casi simultáneamente el humo... Después, emprendieron viaje.
Al cabo de una hora, aproximadamente, llegaron a destino: San Justo. Los dos sabían que era conveniente, para ese tipo de asuntos, buscar un lugar lo bastante lejos, donde nadie los conociera, para no ser identificados. Y algunos compañeros de oficio les habían acercado “la data” de un supermercadito, que era objetivo fácil.
Luego de circular por los alrededores, desorientados, por más de media hora, finalmente encontraron ese local tan buscado que, a decir verdad, tenía la misma fachada que habían descrito aquellos vagos amigos.
Las labores de cada uno habían sido dispuestas de antemano: José, el más corpulento y menos ágil, se quedaría haciendo de campana en la puerta; en cambio Tito, de contextura frágil pero hábil corredor, sería el encargado de entrar y hacer el trabajo más sucio.
Al poco tiempo, Robertito, que había entrado lleno de coraje y de viveza callejera, salió del mercado transformado en una flecha, vistiendo un rostro notablemente pálido. Nada había resultado según lo planeado, y no pudo evitar que se le cayera ese objeto que ocultaba en la holgada camisa, justo cuando estaba por salir. Por eso, las únicas, nerviosas y desesperadas palabras que se escucharon en aquel tenso momento fueron: “¡Rajá José, rajá que nos calaron!”. Y después llegó la desesperada corrida.
Las piernas temblorosas de ambos se movían a una velocidad casi infinita, sus rostros lucían contraídos, sus ojos se veían exaltados y sus cuellos, rígidos, mostraban las venas infladas, a punto de estallar.
Pero esa carrera que parecía interminable, que aparentaba estar custodiada por la solidaridad de los dioses, concluyó, siniestra, en el abismo de aquella avenida, donde el cuerpo de Tito fue interceptado por aquel desprevenido demonio dotado de ruedas. El trágico desenlace de la historia no hacía más que confirmar que sólo hay un lugar para los denominados “alienados”, un lugar abordado por un único destino, trágico e irreversible, un destino que, por ahora, sólo está delimitado por los estigmas que los mismos cargan y que son, el desamparo, la marginación y el imperante olvido.

Él ignoraba la profundidad de aquel sueño que yo había tenido. Lo supe porque ni siquiera se dio cuenta que había abandonado mi escritorio visiblemente excitado. Todavía exaltado por aquellas trágicas imágenes, busqué estabilizarme, normalizar la respiración, recuperar el aliento.
Poco después, me dirigí hacia su banco e interrumpí la continuidad de su dibujo, sorpresivamente. Lo abracé fuerte, muy fuerte, permitiendo que un conjunto de lágrimas me invadiese el rostro. En aquel momento, mi satisfacción más profunda estaba centrada en el hecho de encontrarlo, allí, con sus extraños dibujos, pero en clase.

Humor (fuente: internet)

2010-01-08T20:13:00.002-03:00

Me gustan los polinomios, pero sólo hasta cierto grado.

¿Qué es un oso polar? Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas.

¿Qué le dice la curva a la tangente? ¡No me toques!

¿Qué es un niño complejo? Un niño con la madre real y el padre imaginario.

¿Quién inventó las fracciones ? – Rta: Enrique octavo.

ÍNDICE

2009-06-01T21:07:00.002-03:00

Hypatia, la Filósofa
Año I, Nro. 2 Noviembre de 2007

ÍNDICE

1. HYPATIA EDITORIALIZA
(Equipo de Redacción)
2. IDEAS Y LETRAS: Jacques Derrida: la escritura, núcleo fundamental del lenguaje
(Ester Tuchsznaider)
3. HISTORIAS DEL PENSAMIENTO: De Filolao, Eudoxo… y las esferas celestes
(Antonio Castellano)
4. PRÁCTICAS EN CONTEXTO: Una visión contemporánea de la tarea educativa
(Pablo F. Rodríguez)
5. DEBATES EDUCATIVOS: Pero cómo, ¿ Giuseppe Verdi … no fabrica galletitas ?
(Horacio Rinaldi)
6. CURIOSIDADES: Go!
(Liber Aparisi)
7. CIENCIAS Y ENSEÑANZAS: ¿Qué hacemos con el Cero?
(Ariel Puntano)

¿ QUÉ HACEMOS CON EL "CERO" ?

2009-06-01T21:03:00.001-03:00

¿ QUÉ HACEMOS CON EL "CERO" ?

por Ariel Puntano

Así obtenemos N = {1; 2; 3; 4;…}.

A esta sucesión 1, 2, 3… se la llama “sucesión fundamental”.

En esos mismos textos, cuando se incluye al cero se habla de No = {0, 1; 2; 3; 4;…}.

El 0 no es considerado un número natural. Otros textos, en cambio, especialmente los más recientes, sí incluyen al 0 en la sucesión fundamental y consideran que

N = {0, 1; 2; 3; 4;…}.

Entonces ¿el cero es un número natural o no? Si no es natural ¿por qué lo utilizamos en las operaciones con naturales? ¿Acaso la ley de cierre no dice: a + b = c / a, b y c Î N?§ 1. IntroducciónA la hora de encuadrar al 0 en el contexto de los conjuntos numéricos aparecen controversias y, aunque debemos ser muy cuidadosos con el lenguaje matemático que utilizamos, muchos libros de texto son poco claros al respecto. Si hablamos de números solamente, muchos matemáticos definen a la sucesión de números naturales como aquella formada por la sucesión fundamental 1, 2, 3 4… que comúnmente se utilizan para contar objetos. Pero si hablamos de conjuntos, los números naturales están formados por la sucesión fundamental más el cero, ya que en la teoría de conjuntos los números se utilizan para contar elementos de un conjunto. Por ello debemos ser prudentes al transmitir estos conceptos de objetos y elementos, que son abordados por dos teorías diferentes: la Teoría de Números y la Teoría de Conjuntos.La lectura de varios artículos y libros, tanto de nivel medio como superior, me ha llevado a desarrollar este trabajo que puede ayudarnos a los docentes y futuros docentes a abordar correctamente todos los temas en los que puede haber confusiones de lenguaje.§ 2. Historia de los números naturalesAun antes de que surgieran los números escritos, el hombre ya se las ingenió para contar utilizando para ello piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas o, simplemente, los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en varas o trazos específicos sobre la arena.Fue en la Mesopotamia, alrededor del año 4.000 a. C., donde aparecen los primeros vestigios de números propiamente dichos, que consistían en marcas con forma de cuña (de aquí el nombre de escritura cuneiforme) que eran grabadas sobre pequeñas tablas de arcilla usando palillos aguzados. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los griegos y romanos.Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los romanos, además de las letras, utilizaron otros símbolos.Para llegar a la numeración que admite el valor relativo de las cifras y que simplifica tanto la escritura como los cálculos, fue preciso crear el número cero. Fueron los hindúes quienes, a principios de nuestra era, comenzaron a representar el cero primero mediante un punto, después usando un círculo y por último un óvalo. El conocimiento del cero pasó a los árabes y a través de ellos llegó a la civilización europea.§ 3. El camino para definir el concepto de número naturalA fines del siglo XIX muchos brillantes matemáticos alemanes trabajaban en el problema de definir rigurosamente los conceptos matemáticos fundamentales. Entre estos matemáticos estaban Karl Weierstrass, Richard Dedekind y Georg Cantor, siendo este último quién realizó el primer estudio formal de la teoría de conjuntos.Richard Dedekind definió a los números naturales sobre una base sólida, aunque derivó sus propiedades de una serie de postulados que implicaban que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta. Estos postulados fueron posteriormente formulados con más precisión por G. Peano, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. (Existen dos versiones de los postulados de Peano, en el presente artículo analizaremos ambas.)Pero fue Gottlob Frege quien se dedicó a la fundamentación de los números naturales con más profundidad y rigor. Frege no dio por supuesta la existencia de los números naturales, sino que demostró esta existencia partiendo de principios más fuertes, ligados a la lógica y la teoría de clases (o conjuntos). Sin embargo la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, cuando Bertrand Russell demostró que sus métodos estaban basados en principios contradictorios.Russell analizó las clases, especialmente la clase de todas las clases. Ésta contiene clases de dos tipos: aquellas que se contienen a sí mismas como elementos, y aquellas que no. Si Y es la clase de las clases que no se contienen a sí mismas entonces resulta que “Y es un miembro de Y si y sólo si Y no es un miembro de Y”. Esta contradicción marca una falta grave en el llamado principio de comprensión (uno de los principios de la teoría de Frege) que dice que a cada propiedad le corresponde una clase. Este hallazgo de Russell paralizó el proyecto de Frege de reducir la aritmética a lógica y la teoría de clases. En 1903 el propio Russell publicó Principios de las Matemáticas, en el cual ofrece un primer intento de resolver la paradoja que él mismo había hallado. Intento que a la larga también fracasó.Fue finalmente E. Zermelo, hacia 1908, el primero en dar axiomas adecuados para la teoría de conjuntos y quien demostró, a partir de esos mismos axiomas, la existencia del conjunto de los números naturales. Modificaciones posteriores del sistema de Zermelo, debidas a Adolf Fraenkel y John von Neumann, permiten construir a cada número natural como un conjunto en sí mismo dento del contexto de los llamados números ordinales.Como vemos, el camino recorrido por los matemáticos para definir los números naturales tiene una larga historia de idas y venidas.§ 4. Los números naturales según la Teoría de ConjuntosEl primer estudio formal sobre la teoría de conjuntos fue realizado por el matemático ruso–alemán Georg Cantor a mediados del siglo XIX. Cantor definió a los conjuntos de la siguiente manera:Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.Es importante aclarar que Cantor utiliza la palabra “objetos”, pero luego es reemplazada por “elementos”. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.De la relación entre distintos conjuntos surge el concepto de número natural. En el siguiente diagrama se relaciona cada elemento de A con un elemento de B.Gráfico Nº1Queda establecida una correspondencia “uno a uno”, de A hacia B. También se pueden relacionar de la misma manera los elementos de B con los de A.Esta correspondencia “uno a uno” y su recíproca se llama correspondencia biunívoca. Cuando es posible establecer una correspondencia de este tipo entre dos conjuntos se dice que estos son coordinables o equipotentes.La propiedad común de todos los conjuntos finitos que son coordinables o equipotentes es el cardinal de esos conjuntos. Si dos conjuntos son equipotentes tienen el mismo número natural o el mismo cardinal.La equipotencia permite clasificar los conjuntos.*El conjunto vacío forma una clase.*Los conjuntos unitarios otra clase.*Los conjuntos binarios otra clase.Y así sucesivamente.Al número o cardinal de cada clase se le asigna un nombre y se lo representa por un símbolo o numeral (#). Al número de la clase vacía lo llamamos

CERO:Card.{} = #{} = 0

Al número de la clase de los conjuntos unitarios lo llamamos UNO:Card. {0} = #{0} = 1

Al número de la clase binaria o de pares los llamamos DOS:Card. {Ñ; ÿ} = #{0; 1} = 2

Y así seguimos:Card. {Ñ; ÿ; *} = #{0; 1; 2} = 3

Estos números se llaman naturales N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}.§ 5.

Los números naturales según la Teoría de NúmerosLos axiomas de Peanos o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) a fines del siglo XIX.

Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:

1) 1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío)

2) Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).

3) 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto)

4) Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.

5) Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.El sistema axiomático de Peano es esencialmente ordinal, y define al conjunto de los números naturales algebrizando con las operaciones de adición y multiplicación.Los axiomas de Peano tal como fueron originalmente escritos (en latín) dicen:

Términos primitivos: “1(uno)”; “número” y “sucesor”Postulados o axiomas:- 1 es un número- El sucesor inmediato de un número también es un número- 1 no es el sucesor inmediato de ningún número- Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato- Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números (inducción matemática)

Definiciones:

I) de adicióna) a + 1 = S(a) cualquiera sea a Î Nb) a + S(b) = S(a + b) cualesquiera que sean a y b en N

II) de multiplicacióna) a . 1 = a para todo a Î Nb) b) a . S(b) = a . b + a cualesquiera sean a y b en N§ 6. Otra forma equivalente de la teoría de PeanoEn el conjunto N no figura como elemento el 0. Peano mismo lo introdujo en otra versión publicada en 1895 en la Rivista di matematica, y muchos autores prefieren incluirlo. En este caso los axiomas no se modifican esencialmente, salvo que el 1 se sustituye por el símbolo 0. Sin embargo hay que cambiar las definiciones de adición y multiplicación.Términos primitivos: cero (0), número y sucesor o siguiente, más la noción de clase, que en Peano es casi sinónimo de propiedad. Peano especifica que No es una clase, aunque “número” es un nombre común.Los postulados son:- el cero es un número- el sucesor (el siguiente) de un número es un número- si el cero pertenece a una clase (= cumple una propiedad) tal que el sucesor de todo número que pertenece a la misma (= que cumple la propiedad) también pertenece (= la cumple),entonces todos los números pertenecen a la clase (= cumplen la propiedad); o como él comenta, o es la mínima clase que satisface .0, .1, .2.,- dos números sólo pueden tener el mismo sucesor si son iguales, y- el cero no es sucesor de ningún número.Definiciones de adición y multiplicación:I) Adicióna) a + 0 = ab) a + S(b) = S(a + b)II) Multiplicacióna) a . 0 = 0b) a . S(b) = a .b + aEn este caso se define 1 = S(0)En el lenguaje conjuntista actual, se resumirían en:Existe un conjunto N, una aplicación sgt : N à N, y un elemento 0 Î N tales que sgt es inyectiva, 0 Ï sgt(N), y si S Í N es tal que 0 Î S y sgt(S) Í S, entonces S = . (Donde “sgt” significa siguiente).Peano elaboró sus axiomas en un momento (finales del siglo XIX) en el que la búsqueda de una fundamentación sólida para todas y cada una de las partes de las Matemáticas se sentía como una necesidad inaplazable. Diversas crisis de la intuición (la demostración de Beltrami de que las geometrías no euclídeas eran tan firmes como la euclídea, la creación de la teoría de conjuntos por Cantor) hicieron a los matemáticos tremendamente desconfiados hacia lo que, hasta entonces, había sido tenido por indudable. Esta desconfianza en la intuición llevó a un reforzamiento del rigor y a una revisión de todo lo que se daba por evidente, intentando reducir “lo evidente” a la mínima expresión.§ 7. ConclusionesPara evitar confusiones en general se adopta:No designa el conjunto de números naturales con el CERO.No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}Está formado por la sucesión fundamental y el cero.N designa el conjunto de números naturales sin el CERO.N = { 1, 2, 3, 4, 5,…}Está formado por la sucesión fundamental.Esta aclaración es importante para no perder de vista el concepto numérico del cero, aunque de la Teoría de Conjuntos se desprende que el cero es natural, ésta notación es la más generalizada, siempre que se tenga en cuenta que el cardinal del conjunto vacío es el cero, es un número que representa al cardinal de la clase vacía pero dentro de la misma teoría de conjuntos.Si lo analizamos desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, teniendo en cuenta lo anterior.(N; +) es monoide+ es ley de composición interna(N; +) es semigrupo conmutativo+ es ley de composición internaNo tiene elemento neutro, si existe elemento neutro se dice que el semigrupo tienen unidad.En cambio:(No; +) es semigrupo conmutativo con unidad.+ es ley de composición internaTiene elemento neutro, el cero.Para ser grupo deben cumplir: ley de composición interna, asociativa, con neutro y además inverso. En caso de ser conmutativo será grupo abeliano.(N; +) no es grupo+ es ley de composición internaNo tiene elemento neutro, ni inverso aditivo.(No; +) No es grupo+ es ley de composición internaTiene elemento neutro, el cero. Los demás elementos carecen de inverso aditivo.Si lo analizamos desde un punto de vista más elemental, de nivel secundario, podríamos analizar las propiedades de la suma en el conjunto de los números naturales.Ley de cierre o clausura:" a, b Î N $ c / a + b = c Ù c Î NEjemplo: 2 + 3 = 5 , 2, 3 y 5 Î NContraejemplo: 2 + 0 = 2, 2 Î N , pero 0 Ï NAdemás no existe elemento neutro.Por ello es importante mencionar que en el nivel medio o secundario siempre utilizamos No , y no N.Por ello la ley de clausura es:" a, b Î No : $ c / a + b = c Ù c Î NoAunque sabemos que la inclusión o no del cero, como se ha podido observar a lo largo del artículo es aún un tema de controversia, los docentes debemos adoptar una postura razonable, la de explicar con términos sencillos sin perder la rigurosidad matemática, que no todo está dicho en las ciencias matemáticas, y que sólo para facilitar el entendimiento y el razonamiento en esta disciplina se adopta por simple generalidad:No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}N = { 1, 2, 3, 4, 5,…}Hypatia, la FilósofaUna Revista de Profesores y Futuros Profesores,del Centro de Actualización e Innovación Educativadel I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”. Por ello la respuesta a la pregunta: ¿Qué hacemos con el cero? Es, “depende para qué”. En el nivel medio necesito del cero para poder operar con números naturales y a ese conjunto lo llamo No. Por ello en muchos textos del nivel medio se trabaja con ésta simbología y de ésta manera. Aunque algunos autores cometen ciertos errores de nomenclatura como el que analizamos en el caso de la ley de cierre, que puede confundir al alumno, el docente debe estar allí para explicarle las ambigüedades que podemos encontrar y por qué.Como docentes y futuros docentes, debemos analizar bien las palabras y deducciones que llevamos a las aulas para dejar en los alumnos una impronta que marque la necesidad de recurrir a la matemática con el interés de una ciencia abierta y susceptible de cambios.

Bibliografía

1. BOGANI, G., DESTUET, E., y OHARRIZ, M.; Matemática 1. Plus Ultra, Buenos Aires, 1994.2. CANTOR, G.; Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Escritos y correspondencia selecta). Edición de José Ferreiros. Crítica, Barcelona, 2006.3. KLINE, M.; Matemáticas, la pérdida de la certidumbre. Siglo XXI editores, México, 1985.4. REPETTO, C., LINSKENS M. y FESQUET, H.; Aritmética I. Kapelusz 18ª edición, Buenos Aires, 1967.5. ROJO, A.; Álgebra I. El Ateneo 16ª edición, Buenos Aires, 1992.6. RUSSELL, B.; Introducción a la Filosofía Matemática. Paidós, Buenos Aires, 1988 (originalmente escrito en 1918).7. TAPIA, N.; y otros.; Matemática 1. Estrada, Buenos Aires, 1995.8. VIDAL, R.; Álgebra lineal. Tomo I. Edicitex, Buenos Aires, 1984.

GO!

2009-06-01T20:56:00.002-03:00

6. Go !
por Liber Aparisi

El Go es un juego de mesa. Un juego de estrategias sobre un tablero, para jugarlo de a dos (mas bien...contra otro).
Todavía no te vayas!Porque resulta que es el juego de mesa mas antigüo de todos. (Confucio lo menciona por el año 500 a.c. en sus libros.Y muchos historiadores creen que incluso se lo conocía, en alguna de sus formas mas primitivas, hacia el año 1000 a.c.)
Con lo que tenemos, un juego de mas de 3000 años y que viene del lejano oriente.No se sabe con precisión, pero las zonas donde se desarrolló fueron las de Asia central, por eso es un juego milenario tanto en China, como en Korea y desde hace muchos siglos en Japón, donde se hizo mas importante.Viajeros europeos de los siglos XV y XVI dejaron narradas historias sobre el Go, pero recién a fines de 1800 comenzó a conocerse en Europa.
Entonces, tenemos un juego de mesa (que desde el siglo IX no cambia ni la forma del tablero ni sus reglas) que Occidente conoce con un retraso de unos…dos mil años.
Pero, por qué será que es un juego tan querido? Digo, durante miles de años la gente lo elige, no quedó perdido en la historia. De hecho, es bien sabido que jugadores que acreditan un nivel intermedio no precisan hacer el examen de ingreso en muchas universidades de Japón que los jugadores profesionales son exitosos deportistas en las sociedades orientales, los torneos se transmiten por televisión y que desde hace tiempo se habla de su pronta incorporación como deporte olímpico.
Aunque en Europa es un juego/deporte que tiene una presencia centenaria ningún jugador tiene aún el nivel de los jugadores orientales.En Argentina, uno de los precursores mas importantes fue el ingeniero Hilario Fernandez Long, quien fuera rector de la Universidad de Buenos Aires hasta 1966 (mas precisamente hasta La Noche de los Bastones Largos) Fue uno de los miembros fundadores de la Asociación Argentina de GO en la década del 70.
En la actualidad las principales ciudades del país tienen alguna asociación que nuclea jugadores y acerca este juego a curiosos, principiantes y expertos.En la ciudad de Buenos Aires un referente importante es la Asociación Argentina del juego de Go que funciona junto a la Asociación Argentina de Ajedrez. Otro es el Centro Okinawense de Buenos Aires, que está cerca de nuestro colegio Mariano Acosta.
Es cuestión de googlearlos y enterarse de sus propuestas. Hay clases para principiantes, para muy muy principiantes y por supuesto para todos los niveles; se organizan torneos, tienen material de consulta, y mucho mas.
Desde hace una década se realiza un torneo iberoamericano y en 2008 será sede nuestro país. Este año se realizó en Ecuador y el ganador fue el argentino Fernando Aguilar. Cerca estuvieron ecuatorianos, mexicanos y brasileros.
Entonces, te dieron ganar de conocerlo?
Te adelanto que tiene poquísimas reglas (seis) y son muy sencillas. Las partidas pueden durar desde minutos hasta todo un día y es muy difícil que haya un empate. El tablero es bastante parecido al de Ajedrez, es una cuadrícula de 19x19 líneas. Las fichas se colocan en las intersecciones y como en el ajedrez un jugador juega con blancas y otro con negras pero...las fichas entre sí no tienen jerarquías, todas son iguales, y no saltan ni atacan. Incluso el tablero se comparte desde el inicio, o sea que no hay territorios propios para cada jugador. Y donde uno coloca las fichas ahí quedan.
Claro, vos dirás, una vez que los jugadores agregan una a una las fichas se llena el tablero y qué pasa... termina?!
No, es que, y ahí viene la idea del juego, la cuestión es rodear al enemigo, encerrarlo, entonces las fichas encerradas son retiradas. Acá no se trata de derrocar a un tirano, a un rey y a su esposa. Nada de eso, se inmoviliza al otro con mucha paciencia y astucia. Y vale tanto el análisis estratégico como la intuición y principalmente el lograr conocer al adversario. Porque en el Go (llamado Igo en Japón, Baduk en Korea y Wei Qi en China) sale mas rápido a la luz el carácter del otro que su habilidad en el juego. Y muchas veces rinde mas dejar un señuelo y hacer buena defensa que la propuesta de un ataque continuo. En general, es buena idea atacar tanto como defender.
Por último, si luego de leer este artículo, un día mientras lees tus correos te dan ganas de echar una mirada en la página de la Asociación Argentina de Go, bueno, seguro también vas a querer probar con un partidito. Entonces, nos encontramos en yahoo! juegos, en alguno de los salones de juegos (nunca hay menos de 300 personas).
Luego en caso de seguir con ésto del Go seguro usarás otros servidores mas importantes como el IGS Pandanet por poner ejemplo.
Pero creo que independientemente del nivel que vayas a conseguir, vas a ir jugando y seguro te va ir pareciendo siempre cada vez mas interesante.

PERO CÓMO... ¿ GIUSEPPE VERDI, NO FABRICA GALLETITAS ?

2009-06-01T20:55:00.001-03:00

pero cómo... ¿ Giuseppe Verdi, no fabrica galletitas?
Prof. Horacio Rinaldi

Hace ya un tiempo atrás, del orden de un par de años, mi cuerpo fue un involuntario escenario de una feroz lucha entre virus de todo tipo y tamaño y mis anticuerpos. La batalla fue tremenda y como resultado de tal acontecimiento estuve una semana completa en cama.

Además de pasar los días leyendo y escuchando mucha música fui televidente de la programación de la tarde de nuestra televisión. En esa época, existían diversos ciclos de entretenimientos en donde para obtener algún premio era necesario contestar preguntas de “cultura general”. En uno de esos programas, alumnos de distintas escuelas competían por conseguir que el auspiciante de turno les pagara sus viajes de egresados.La conductora realizaba preguntas en forma alternada a dos conjuntos de cinco alumnos cada uno, pertenecientes a dos escuelas distintas. El alumno de la escuela a la cual se le formulaba la pregunta, y que sabía la respuesta, debía dirigirse hacia el micrófono y contestar.En un momento, una de las conductoras, preguntó a los cinco alumnos de una escuela qué es “La Traviata”. Inmediatamente una alumna del grupo se abalanzó sobre el micrófono y contestó: ¡ una galletita !

Silencio. Luego risas. Risas que desde mi lecho de enfermo compartí.

Tiempo después, en uno de los tantos programas que recrean las cosas que pasan en la televisión, pasaron un conjunto de yerros cometidos por los estudiantes y público en general en el intento de contestar preguntas de cultura general. Entre los errores mostrados apareció el que yo había visto. Por supuesto, también aparecieron muchos más. Todos inevitablemente invitaban a la risa.

Frente a esto, el primer comentario que surge es el de la falta de cultura general no sólo de los adolescentes en general sino de algunos adultos en particular. Obviamente éste es un mal síntoma de nuestra época del que se escuchan permanentes debates, sobre todo tratando de analizar el por qué se llegó a esa situación.

La mayoría de los debates terminan con una especial mención a lo mal que se enseña en la escuela y los responsables directos de esto terminan siendo en general los docentes. Aunque si bien sobre este tópico también tengo mi opinión, no es la idea que me llevó a escribir esta nota. Lo que sí me interesa resaltar es que en esos programas, como en la mayoría de los programas que existieron y todos los que existen en la actualidad, cultura general se asocia al conocimiento más o menos profundo que una persona tenga en áreas de las Ciencias Sociales, las Artes, la Literatura, la Filosofía, la Biología y la Medicina entre otras (“otras” incluye el conocimiento de nombres de actores, deportistas y políticos, por ejemplo).

Muy de vez en cuando se escuchan preguntas sobre Astronomía y Química. Muchas menos veces se hacen preguntas sobre Matemática y, cuando esto ocurre, queda sólo reducido a un simple (o difícil) cálculo aritmético. Lo que es seguro es que casi no se escuchan preguntas sobre Física.

Todavía más interesante es que en algunos de estos programas al que gana se lo asocia con una “persona culta”. Evidentemente, a ninguno de los productores de estos programas les interesa saber el grado de conocimiento que los alumnos y el público en general tienen sobre las Ciencias Exactas. Y por supuesto, el desconocimiento casi completo de estas ciencias no lo relacionan con el grado de incultura de una persona.

Comparto la opinión generalizada que desconocer cuál es la capital de Francia, quién fue Shakespeare, quién escribió el Martín Fierro o quién pintó la Última Cena establece un grado de incultura. No es un buen síntoma que una alumna confunda la ópera La Traviata con una galletita. O que quizás esta misma alumna hubiese asociado a Verdi con una fabrica de galletitas o más aún con ser el dueño de Terrabusi.

Pero igualmente malo es que pocos, inclusive los que la gente considera como personas cultas, no puedan contestar con claridad quién fue Kepler, o que por ejemplo confundan a Heisenberg con la marca de una cerveza.La falta de alfabetización científica se extiende a un alto porcentaje de la población, que incluye a los alumnos, al público en general, a los llamados cultos, a los responsables de los programas de preguntas sobre cultura general, a los políticos y a los responsables de los medios de comunicación, entre otros. Justamente es en los medios de comunicación donde la falta de un mínimo conocimiento científico trae diversos problemas. Por ejemplo, cada vez que aparece algún acontecimiento vinculado con el “espacio exterior” es común que en los medios de comunicación se confunda el problema astronómico o astrofísico con un problema astrológico, total, las tres áreas del conocimiento describen el mismo tipo de problema. O para rematarla, consultan a Fabio Zerpa, antes que a algún científico del IAFE, organismo que salvo la gente que ahí trabaja y algunos pocos más, nadie sabe que existe y menos aún para qué sirve.Todavía es común escuchar que ciertos locutores de radio dicen una antigua y famosa frase: “estamos en el éter en la frecuencia.....” o por ejemplo que se hable que “la fuerza que traía el auto era de 100 km/h” o que “la pelota fue despedida a una velocidad de 80m”, o mejor aún, “la pelota llegó con mucha fuerza”. Ahora bien, el concepto más usado por casi todos, pero en general en forma incorrecta, es, sin lugar a dudas, la energía. Existe la energía asociada a las piedras, las pirámides, las cartas, la borra de café, las plantas y a cualquier objeto que los adivinadores utilicen para adivinar nuestro futuro. Por supuesto, que es una energía difícil de definir, pero a ellos les sirve para establecer contacto con el objeto y descifrar nuestro destino. También existe una buena y una mala energía, la cual está vinculada con la “buena o mala onda” de la persona. También resulta muy divertido escuchar a ciertos médicos que practican la llamada medicina cuántica. Las incoherencias y errores conceptuales son magníficos.

Pero, ¿ cuáles pueden ser las conclusiones que se pueden sacar de todo lo anterior ? Considero que son muchas, pero una sencilla es que para el común de la sociedad la alfabetización científica no es importante en términos de cultura general. Sólo se la entiende como un conocimiento propio de unos pocos, que a su vez son considerados como especiales, por no decir raros o hasta extraños.La falta de alfabetización científica también está relacionada de alguna manera con el hecho de que la sociedad en general no se cuestiona para qué es necesario un médico, un contador, un abogado o un ingeniero, y hasta es probable que vincule la existencia de estas profesiones y la importancia de lo que realizan con el crecimiento de un país y hasta con su grado de independencia económica. Sin embargo, esa misma sociedad no entiende o peor aún, no sabe, para qué puede ser importante que un país tenga matemáticos, químicos, astrónomos o físicos. Sobre los físicos, hasta es probable que ni siquiera sepa a “ciencia cierta” a que se dedican. Por supuesto que en este contexto su existencia no tiene absolutamente nada que ver con el crecimiento y autonomía de un país. Un ejemplo de lo que estoy diciendo lo constituyen las palabras que alguna vez expresó el ministro Cavallo: “que vayan a lavar los platos”, dirigiéndose a los investigadores del CONICET del área de las ciencias básicas.Todo lo anteriormente expresado, trae aparejado que no se tenga bien en claro cuál es la necesidad y la importancia del estudio de las ciencias exactas en la escuela. No tanto de la Matemática o de la Química, que de alguna forma son más aceptadas, pero sí de la Física. Consecuencia, no se estimula y profundiza la alfabetización en ciencias de los alumnos de escuela primaria y secundaria.

Más grave aún es que la falta de alfabetización científica en la escuela primaria y la escuela secundaria está conduciendo lentamente a que se ponga en duda, por ejemplo, la importancia de la enseñanza de la Física en la formación de los futuros ingenieros. Con asombro he visto cómo en los últimos diez años y en forma progresiva, los nuevos diseños curriculares de la mayoría de las universidades del país, públicas y privadas, redujeron los contenidos de Física (también los de Matemática) para dar lugar a materias de la socialmente denominada “cultura general”, filosofía, economía, idioma, marketing, etc. No quiero poner en duda en estos momento los motivos por los cuales se decidió incorporar estos contenidos. Estimo que sólidos argumentos existirán para esto. Lo que no entiendo es por qué para conseguir mejorar el nivel académico de los alumnos de Ingeniería en áreas tradicionalmente no enseñadas se haya decidido quitar fundamentalmente horas de Física.

Con relación a estas modificaciones, a veces he escuchado como argumentación (que determinaron en algunos casos la destrucción de los programas de Física y la reducción de la actividad de laboratorio), que quitando horas en el ciclo básico se puede hacer ingresar antes al alumno a su futura especialidad (entendible, aunque no lo comparto) o que finalmente no resulte útil a un ingeniero estudiar Relatividad o Mecánica Cuántica, al no tener nada que ver con su futuro laboral.Estas argumentaciones, me dan la oportunidad de realizar la siguiente reflexión. El conocimiento no tiene sólo un sentido utilitario (ni un sentido puramente económico). No todo se reduce al “para qué me sirve”. Estudiar y entender Física implica el desarrollo de habilidades intelectuales que muy pocas asignaturas están en condiciones de generar, y en lo que tiene que ver con la formación básica del ingeniero, estas habilidades terminan siendo indispensables.

Si además todo tuviera sólo un sentido utilitario seguramente encontraríamos que las carreras de Ingeniería están sobredimensionadas. Por ejemplo, para qué sirve que un Ingeniero Industrial actual sepa cómo funciona una máquina térmica si quizás nunca por motivos de trabajo se encuentre frente a una.

Por otra parte, los países del verdadero primer mundo también tienen en claro la importancia de tener gente que estudie Física (en cualquiera de sus formas: teórica o experimental) y las inversiones que realizan demuestran que la pregunta sobre si estudiar ciencias básicas es importante la tienen contestada.

Finalmente, ¿ contemplan los actuales diseños curriculares de la escuela primaria, secundaria, de las carreras de formación docente para maestros, Ingeniería (entre otras carreras) la falta de cultura tecnológico-científica de los alumnos que ingresan ? ¿ Se realizan acciones para corregir esto ? Considero que no. La continua reducción de los contenidos, la falta de presupuesto para armar laboratorios de Física son una clara demostración de por qué no. La Física en la formación de los niños, adolescentes, futuros maestros e ingenieros (entre otros) es muy importante, ya que a mi entender, es la única materia, dentro de las básicas, que le da “fundamento” a la tecnología.

Considero que los responsables de la enseñanza de las Ciencias Exactas en general y de la Física en particular de nuestro país tenemos un alto grado de responsabilidad en todo lo que he relatado. Como mínimo, no hemos sabido defender los espacios que en alguna época los diseños curriculares nos habían reservado. Pero esto se puede revertir. Personalmente considero muy importante que se revierta o por lo menos que se entienda lo anterior como un problema y la necesidad de buscar entre todos la solución.

Como síntesis de todo lo que quise significar con esta nota pensé en el siguiente desafío: aproveche cualquier reunión de amigos y coménteles que W. Shakespeare, Miguel Angel y J. Kepler fueron contemporáneos. Luego pregúnteles qué conoce de la obra de cada uno de los dos primeros. Luego permítales que hagan una reflexión sobre la importancia de enseñar sus obras en la escuela. Seguramente el resultado será que la mayoría conoce las obras más importantes de ambos y casi ninguno dudará de la importancia de su estudio en la escuela, cosa que comparto.Luego pregunte a las mismas personas si saben quién fue Kepler y qué fué lo más importante de su obra. Por supuesto, también pregúnteles si creen que es importante que se estudie su obra en la escuela. El resultado no será bueno. En general se desconoce a Kepler y por lo tanto la verdadera dimensión de su trabajo. Luego cuénteles que conoce a alguien que tuvo la suerte de maravillarse frente al David y disfrutar de los frescos de la Capilla Sixtina. Que se conmovió tremendamente con “Macbeth”. Pero lo más interesante es que intente convencer a su interlocutor, de que esa misma persona, que disfruta de los placeres que las artes en general nos brinda, sintió cuando las estudió y siente ahora que las enseña, la misma sensación de placer y belleza por las leyes de Kepler, que frente a la obra de Miguel Angel y Shakespeare. Después de todo Kepler sólo intentó entender “la armonía del Universo”.

Para terminar, como dice la canción, “quien quiera oir que oiga”, pero mucho mejor es “quien pueda hacer que haga”:

· La alfabetización científica en la escuela primaria y secundaria es imprescindible.· Los diseños curriculares de las carreras de formación docente para maestros y las en las Ciencias Físicas debemos dar una clara respuesta frente al problema carreras de tipo tecnológico, como la Ingeniería, deberían revalorizar los contenidos y actividades de laboratorio relacionadas con la enseñanza de la Física.

· Las Ciencias Exactas también forman parte del patrimonio cultural de un país y son fundamentales para la construcción de un país independiente.

· Los profesionales de la educación que trae su enseñanza y generar la didáctica adecuada para lograr despertar el necesario y merecido interés que por su estudio debieran tener los alumnos.

UNA VISIÓN CONTEMPORANEA DE LA TAREA EDUCATIVA

2009-06-01T20:54:00.002-03:00

una visión contemporanea de la tarea educativa
Prof. Pablo Federico Rodríguez.

Este no pretende ser un exhaustivo relato desde la experiencia vivida durante años y años. Justamente el eje de estas líneas no tiene correlato con lo visto en años de trayectoria, sino la propuesta es intentar ver otra cosa... Y digo esto porque creo firmemente que el sentido de la vida en la escuela ya no va de suyo, no tiene un significado convenido por todos los que, desde hace mucho o -como en mi caso, desde hace muy poco- transitamos esta hermosa vocación. En un momento de tanta incertidumbre, de cambios tan acelerados -incluso de cambio de los patrones de cambio- que en tantos segmentos de nuestra urbanización social[18] se observan desde la más absoluta perplejidad, resulta necesario instituir un sentido. Es menester aclarar que instituir no significa necesariamente restituir[19], es decir, restablecer un sistema de significantes y significados ya probados, transitados, en muchos casos, ya superados por la realidad social.Para poder dar un contexto histórico al relato ulterior, debemos situarnos en la década del '70, donde comienzan a darse una serie de cambios que hacen mella de manera profunda en las diversas estructuras sociales. Tomaremos tres categorías de análisis -y sus implicancias en el campo educativo- a partir de las cuales podremos “entrarle” a esta manifiesta crisis educativa: global, local, institucional; maso, meso, micro[20]. Podemos identificar a las mismas en base a tres representaciones en particular: el Mundo (lo global), el Estado (lo local), la Escuela (lo institucional). A estas categorías podríamos sumarle un cuarto nivel, el personal; pero a efectos de facilitarle la tarea al lector, sólo mencionaremos algunos rasgos de las transformaciones que los cambios en los niveles anteriormente mencionados le imprimen a la persona. Cabe destacar que el análisis de la situación requiere desligarse de una lectura lineal de lo que acontece, poder pensar en “tres dimensiones”, teniendo en cuenta una realidad multicausal y compleja, que no responde a la estructura dual causa-consecuencia. Es por ello que las categorías mencionadas no son estáticas y aisladas, sino que están dinámica y sistémicamente interrelacionadas, a partir de un profundo proceso de cambio.

Podemos hablar del nacimiento de una nueva sociedad, el cual responde a tres fenómenos independientes, simultáneos pero inédita y dinámicamente entrelazados, que son el núcleo de este nuevo escenario: la revolución de las tecnologías de la información, la crisis -y caída- de la matriz estado-céntrica (como así también sus posteriores intentos de reestructuración) y el desarrollo de importantes movimientos sociales y culturales[21]. A partir de la aparición y profundización de estos procesos, se transforman tres categorías en las que se estructura el funcionamiento social, a saber: las relaciones de producción, las relaciones de poder y las relaciones de experiencia.En primer término, debemos hablar de una reestructuración del proceso productivo, del trabajo y del capital. La empresa toma una nueva forma organizacional, tendiente a maximizar la flexibilidad y la innovación en sus procesos productivos, pues ello asegura productividad y competitividad. Tal reestructuración sólo es posible a partir del avance de las tecnologías de la información, que estructuran la vida de la organización. Este proceso modifica sustancialmente el rol del trabajador. Primeramente por la imperiosa necesidad de conocer estas tecnologías, pero aún más por la flexibilidad de adaptación a los cambios que la misma propone en tiempos reducidos. Es decir, no alcanza con la calificación que el trabajador pueda tener respecto del proceso productivo que desarrolla sino que es fundamental una educación integral que le permita adaptarse a las distintas calificaciones que se sucedan temporalmente a causa de las transformaciones que se dan en el seno mismo de las tecnologías anteriormente mencionadas. Asimismo, cabe mencionar que lo anteriormente dicho viene acompañado por una creciente descentralización coordinada del trabajo, que hace horizontales a las relaciones de poder en la misma organización, lo cual demanda un nivel alto de autogestión por parte de los trabajadores.En segundo término, es pertinente señalar a la luz de esta síntesis, las modificaciones en las relaciones de poder. La matriz estado-céntrica se encuentra cuestionada, en términos de García Delgado, por arriba y por abajo, es decir, por los organismos supranacionales como así también por sus propios gobernados, acusada de no poder llevar a cabo sus principales -y tradicionales- funciones. Es que el Estado Benefactor, al reducirse a un Estado mínimo debido a fallidas reestructuraciones se encuentra destituido de su poder organizador de la vida social. Ya no estructura, no interpela la vida de los ciudadanos. Las tecnologías de la información, conjuntamente con la dinámica de los mercados financieros globales y el crecimiento de las empresas transnacionales han desdibujado las fronteras que delimitaban su soberanía, tanto externa como internamente. En este contexto, la escuela moderna, que fue creada por un Estado liberal delimitado en sus funciones de intervención, y que adapta su funcionamiento a un Estado de Bienestar de tinte intervencionista, también se halla atravesada por la crisis de aquel que supo darle un sentido de futuro fuerte; mas ahora la escuela se encuentra redefiniendo sus funciones, que al igual que el Estado, sumidos en la más absoluta perplejidad, se acomodan a una geometría de poder variable de las distintas configuraciones espacio-temporales, con actores e instituciones sociales diversos según cada una de ellas.En tercer término, es necesario destinar algunas palabras a las transformaciones de las relaciones de experiencia. Castells introduce a las mismas a partir de la redefinición de la familia, las relaciones de género, la sexualidad y por ende, la personalidad. Las nuevas relaciones de producción han generado modificaciones sustanciales en el núcleo familiar, con lo cual se modifican los modelos de socialización de los niños. Asimismo, la escuela ya no es la única depositaria del saber. Entonces, como diría Tedesco, la familia (que no es la misma familia característica de la modernidad) no es la sola encargada de la socialización primaria; la escuela no es la sola encargada de la socialización secundaria. Nos hallamos frente a modelos de subjetivación social construidos por la experiencia, que no siguen los libretos preestablecidos.

Estas transformaciones, tal como ya fue mencionado, repercuten significativamente en las estructuras de la sociedad y, en consecuencia, en su tradicional funcionamiento. Aparecen fenómenos muy marcados de pobreza, marginación y exclusión -que se representan en las tres esferas explicitadas- Asimismo, el crecimiento exponencial en la valoración del conocimiento expone a la escuela a nuevas demandas de nuevos grupos sociales cada vez más masificados, cada vez más heterogéneos. El conocimiento es considerado socialmente como la herramienta para el desarrollo en sociedad de las nuevas generaciones. Claro está, este no es un dato novedoso, históricamente ha tenido esa significación en el imaginario social, pero en la actualidad ha devenido en una polarización inédita, de forma que determina la entrada o salida del sistema social. Esto se traduce en políticas públicas de expansión del sistema educativo, lo que genera la necesidad de la escuela de adecuar su funcionamiento a las mismas. Es por ello que conviven en una misma situación áulica distintas “juventudes” interactuando en forma inédita y dinámica; en otras palabras, la escuela se encuentra en el centro del discurso social, atormentada por una serie de demandas sociales diferenciadas ya sea por aquellos que quieren “entrar” en los circuitos sociales y aquellos que no quieren perder el posicionamiento logrado. Según Tenti Fanfani:“Pero la masificación está acompañada por un cambio significativo en la morfología social de los alumnos. No sólo los adolescentes y jóvenes que se escolarizan son más, sino que son diferentes. Por una parte ingresan los que tradicionalmente estaban excluidos. A los 'herederos y becarios' se agrega el grueso de la población, es decir, se agregan los hijos de los grupos sociales subordinados de las áreas urbanas primero y las rurales después […] Los grandes cambios en los modos de producción y en la estructura social y familiar, las transformaciones en el plano de las instancias de producción y difusión de significados (la cultura) afectan profundamente los procesos de construcción de subjetividades. El poder del sistema educativo para formar personas, hoy es más relativo y relacional que nunca”[22]Y en el medio de esta tormenta inusitada de transformaciones sociales, se encuentra el docente. Ese docente que fue formado para otra escuela, para otros alumnos y para otra sociedad, y que hoy ve desdibujado su rol tradicional de transmisor de saberes disciplinares. Este docente se enfrenta básicamente con la necesidad de cumplir con los requerimientos de expansión del sistema educativo y de dar respuesta a las demandas sociales de incremento de la calidad y actualización de los contenidos y procesos de su disciplina, en el contexto de una población de alumnos heterogénea y sustancialmente disímil de aquella para la que fue formado, como así también el de una realidad innegable de crisis institucional en tanto máquina de estructuración simbólica de la vida social.

La revolución de la informática ha modificado los núcleos clásicos de socialización y ha despojado a la escuela de su lugar prioritario como transmisora de conocimientos. Hoy nuestros adolescentes llegan a la escuela con una carga muy importante de información que no se ha tamizado a través del bagaje cultural que anteriormente otorgaba la familia, lo que produce un inevitable choque entre la cultura escolar y las culturas no escolares. Cabe entonces preguntarse que posición asumir como docente frente a este escenario; si habrá que desarrollar nuevas competencias en el ejercicio de la función o mantenerse inmutable ante la realidad; si es pertinente incluir las culturas escolares dentro de la cultura institucional y, de ser así, en que grado; si resulta necesario un replanteo acerca de que conocimientos serán pertinentes para incluir a las generaciones venideras dentro del sistema de estructuras sociales y disminuir de esta forma la brecha de desigualdad que hoy sufrimos; cómo es posible ofrecer una respuesta cierta a las demandas que se le adjudican a la escuela.

Tal como lo expresa Tedesco el aprender a aprender es uno de los pilares de la educación del futuro:“Hoy en día lo que una persona aprende en su vida escolar no le va a servir para su vida profesional, deberá renovar sus conocimientos permanentemente. La obsolescencia y la renovación de los conocimientos son muy rápidas. La mayor accesibilidad a la información obliga de manera constante a trabajar en su procesamiento.”[23]

La cantidad de información que se produce día a día es realmente muy importante, como así también la necesidad del hombre por obtenerla en todo momento. Esto modifica sustancialmente la tarea del docente puesto que debe ayudar al alumno a que identifique que tipo de operaciones mentales se están realizando durante el proceso de aprendizaje[24]. Y esto, a su vez, es particular para cada epistemología, puesto que aprendemos contenidos concretos: letras, matemática, física o biología. Cada una de ellas posee una lógica interna diferente del resto de las disciplinas; en otras palabras, los contenidos de cada una de ellas generan competencias cognoscitivas diferentes en el alumno.

Por otra parte, nuestros alumnos llegan a las aulas portando cierta cantidad de información que ellos consideran valiosa, lo cual impacta contra los saberes disciplinares. Entienden que pueden obtener ciertos conocimientos sin la ayuda del docente y, en algunos casos, disponen de más información que estos últimos. Entendemos que las alternativas de mímesis o rechazo absoluto de estas culturas no escolares no aportan nada significativo a este debate. La escuela debiera mantener los rasgos característicos que le imprimen identidad, pero flexibilizando su funcionamiento a partir de la lectura de lo que sucede extra-muros. Es decir, reconocer la existencia de circuitos de información paralelos a los sistemas educativos, adoptarlos y resignificarlos a la luz de los objetivos de la institución escolar:“Los niños y jóvenes son portadores de un afuera distinto Lógica: del mundo audiovisual. De una sociedad más fragmentaria y heterogénea. Con otras configuraciones familiares. Con una revolución científico tecnológica sorprendente.

La escuela debe hacerse permeable. No para actuar miméticamente, sino para establecer desde la asunción de los datos centrales de época una escisión, una ruptura creadora, construir una distancia, una superación”[25]

La construcción de esta ruptura creadora no podrá realizarse sino a partir de los docentes. El espacio de formación docente jugará un papel clave en la superación del contexto de crisis educativa. Tres son los puntos clave, a nuestro entender, para la formación de futuros docentes: la vocación, la autogestión y la investigación-acción. Sin la primera, coincidiremos, no es posible educar. En cuanto al segundo punto, la cantidad y diversidad de información requieren una actitud preactiva en términos de búsqueda y análisis de producciones teóricas que sean solidarios al desarrollo de la actividad. Por último, la formación en el docente de un espíritu investigativo implica que el mismo se enfrente a la necesidad de reflexionar sobre sus propias prácticas, generar producciones teóricas e intentar objetivar y elevar el standard de calidad de las mismas. Asimismo, la investigación-acción puede ser una herramienta importante para la construcción de un cuerpo de conocimientos sólido propio de los docentes, diferenciado en cada una de las áreas de conocimiento, basado en la búsqueda de estrategias que den respuesta a los problemas de aprendizaje de cada disciplina en cuestión. Consideramos que estos tres puntos hacen a la profesionalización de una tarea que necesita una resignificación nacida en el seno de las propias problemáticas, una construcción de sentido propia, desde y hacia los docentes.Ciertamente es posible una salida de esta crisis. Quizás, como en los laberintos, sólo se pueda salir por arriba, es decir, construir alternativas que, sin estar basadas en los libretos preestablecidos, intenten sostener los principios y valores que la educación supo transmitir en otro momento pero contextualizando el análisis a partir de la generación de nuevas categorías que den cuenta de la pluralidad y multiplicidad de factores que se ponen en juego en esta compleja realidad.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

1. Castells, Manuel; La era de la información: economía, sociedad y cultura; 1998; Siglo XXI Editores; Buenos Aires; Volumen 3: Fin de milenio; conclusión.

2. Frigerio, Graciela; Poggi, Margarita; Tiramonti, Guillermina; Las instituciones educativas. Cara y Ceca: Elementos para su comprensión; 1992; Editorial Troquel: Serie Flacso – Acción; Buenos Aires.

3. Púlfer, Darío; Las escuelas ante los desafíos sociales actuales y la nueva Ley de Educación Nacional; 2007; apuntes de cátedra: Política y Legislación Educativa Comparada; Licenciatura en Administración y Gestión de la Educación; UNSAM/CONSUDEC.

4. Sadovsky, Patricia; Enseñar Matemática Hoy: Miradas, sentidos y desafíos; 2005; Libros del Zorzal; Buenos Aires; introducción.

5. Tedesco, Juan Carlos; El nuevo pacto educativo; 1995; Alauda – Anaya; Madrid; capítulo 4.

6. Tedesco, Juan Carlos; Los pilares de la Educación del Futuro; 2006; IIPE; Buenos Aires.

7. Tenti Fanfani, Emilio; Culturas juveniles y cultura escolar; 2000; IIPE; Buenos Aires.

DE FILOLAO, EUDOXO… Y LAS ESFERAS CELESTES.

2009-06-01T20:51:00.001-03:00

3. De Filolao, Eudoxo... y las esferas celestes
Prof. Antonio Castellano

El hombre desde que comienza a utilizar su pensamiento y a pensar en forma abstracta, tuvo la curiosidad por desentrañar las cosas de la naturaleza que ocurrían a su alrededor, así como buscar una explicación al cómo y al por qué ocurrían. Naturalmente muchas veces recurría a explicaciones mágicas, o a la obra de algún dios que justificara el hecho.

Al elevar los ojos al cielo, se encontró con un sinnúmero de interrogantes sobre el movimiento de las estrellas, y en particular de los planetas “cuerpos errantes o vagabundos” que no parecían tener la regularidad de movimiento de aquellas.

Los siete “planetas”[15], Luna, Sol, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, y Saturno, eran conocidos desde la antigüedad. Los babilonios los ordenaban de esa manera por su distancia a la Tierra. Los pitagóricos sabían de su existencia, los tomaban así, sin más y suponían que giraban alrededor de la Tierra en ese orden. Asociaron sus distancias con una escala musical, de tal forma que entre la Tierra y la esfera de las estrellas fijas había un intervalo de una octava. De esa manera los planetas al desplazarse generaban una “armonía de las esferas” que el oído humano no estaba capacitado para oír.

Filolao (alrededor del 450 a.C.) es el autor pitagórico de quien más ideas conocemos, y su visión del Universo se mantuvo hasta la época de Aristóteles. Su cosmogonía fue muy sofisticada, y consistió un ejemplo de la audacia teórica de los primitivos científicos griegos, liberados de las limitaciones del sentido común o los prejuicios religiosos. Para ellos lo importante era dar una explicación que fuera coherente con la realidad, y ninguna hipótesis era rechazada por más atrevida que resultase, si daba la explicación necesaria. Su cosmología sostenía elementos mitológicos (por ejemplo, creía que el mundo limitaba por el exterior con la esfera del Olimpo), aunque inició la creencia en la esfericidad de los cuerpos celestes (creencia que mantendrán casi todos los astrónomos posteriores). Filolao fue el primero en poner en duda el geocentrismo y la inmovilidad de la Tierra: en el centro del Universo colocó un Fuego Central (Atalaya de Zeus, Corazón del Universo, etc.), en torno al cual giraban los demás cuerpos celestes (Tierra, Luna, Sol, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, y Saturno), cada uno conducido por su propia esfera giratoria. La esfera más exterior era la de las estrellas fijas, que no se mueve. Pero había un problema: así quedaba un total de nueve objetos, cifra desagradable y antiestética para la escuela pitagórica, por lo que Filolao sacó de su manga un nuevo planeta: la Anti Tierra, que sería el más cercano al Fuego Central. Así se llegaba al mágico número diez (10 = 1+2+3+4), que era el número de la perfección para los pitagóricos (obsérvese que, una vez más, se ajusta la visión del mundo a las creencias personales a despecho de lo que digan las observaciones). Para justificar la imposibilidad de observar el Fuego Central (si bien el Sol reflejaba la luz que provenía de ese fuego central) y la Anti Tierra [16],Filolao afirmó que nuestro planeta, al girar, lo hacía siempre con la cara que contiene el Mediterráneo dirigida al exterior del conjunto, completando una vuelta cada 24 horas. Esto implicaba dos cosas: que la Tierra giraba sobre su eje y además lo hacía alrededor del centro del mundo. Esta hipótesis es asombrosa; no solo Filolao rechazó la concepción geocéntrica, sino que consideró a la Tierra como un mero planeta más; además postuló la existencia de otro planeta ¡que resulta invisible! ¿Por qué lo hace? Aristóteles supuso que era para explicar los eclipses, y por qué son más frecuentes los lunares que los solares. A pesar del movimiento terrestre, Filolao admitía que la esfera de las estrellas también giraba, cuando resulta más simple suponer lo contrario, pero como todas las esferas se movían…. Esta concepción del Universo es muy ingeniosa, ya que aparentemente ofrece una buena explicación del movimiento de la bóveda estrellada, el transcurso del día y la noche, etc. y a la vez deja incólumes los postulados de la escuela pitagórica.Híceta de Siracusa (¿siglo IV?) posiblemente perfeccionó el sistema anterior. Pudo llegar a la concepción que la Tierra giraba sobre su eje y abandonó la concepción del fuego central y de la Anti Tierra. Teofrasto (comentarista posterior) dice: “Híceta el siracusano cree que el cielo, el Sol, la Luna, y en definitiva todos los cuerpos celestes están en reposo, y que ningún cuerpo del universo se mueve, salvo la Tierra, como ésta gira alrededor de su eje. Todos los fenómenos se presentan como si se considerara la Tierra en reposo y los cielos en movimiento.”

Platón (429-347 a.C.) no dedicó ninguna de sus múltiples obras a la Astronomía, pero, sin embargo, sí incluyó en ellas numerosas alusiones a este campo del saber. Concebía el Universo como una esfera, y concluyó que los planetas también debían tener esta forma. Era partidario de colocar al Sol por encima de Mercurio y Venus. Fue quien estableció el dogma del geocentrismo, introdujo los poliedros regulares - los llamados sólidos platónicos- como esencia de los cuatro elementos básicos de la naturaleza, y también decidió que los cuerpos celestes habrían de ser perfectos; por ello, se moverían a lo largo de una circunferencia -la curva perfecta- alojada en una esfera de cristal -el sólido perfecto- y además “dignas de los cielos”. Este dogma perduró por veinte siglos hasta Kepler.

Platón ofreció un modelo intelectual de tipo geométrico. En lugar de permanecer sobre la Tierra e informar lo que se ve desde ella al mirar el cielo, se debía imaginar fuera del universo y preguntarse cuál debía ser la construcción que da origen a los sucesos visibles. El resultado es su cuadro del universo como una serie de ocho capas concéntricas situadas alrededor de la Tierra.Platón entendía que su visión no solo era esquemática, sino que dejaba un problema clave sin explicar. Era necesario solucionar esas faltas, para comprender en realidad los principios que regían los movimientos celestes. Todo esto no era nada más que un bosquejo general; en consecuencia, se necesitaba refinar los detalles. Por ejemplo, era necesario calcular los radios y las velocidades de las distintas capas.Además existía un hecho que tiraba por tierra todo este esquema, era el “movimiento retrógrado” de los planetas, que ya era conocido por los babilónicos. El problema era entonces explicar este bucle sin salir del modelo fundamental del movimiento circular, continuo y regular. No resulta extraño que en la Academia, Platón propusiera a sus discípulos la tarea de encontrar una solución geométrica por la cual se pudiera incluir este fenómeno dentro del esquema general.

Aunque aún hoy se discute si defendía la inmovilidad de la Tierra (como se infiere de múltiples pasajes de sus escritos), o si, por el contrario, ya intuía la rotación de su eje (como aparece en un único pasaje del Timeo). En todo caso, parece que conoció y adoptó las doctrinas de los pitagóricos a este respecto, creyendo así en la existencia de la Anti-Tierra y del Fuego Central. De todas formas, estas teorías fueron cayendo en el olvido poco después de su muerte debido al cada vez mayor conocimiento geográfico del mundo. No hay que olvidar que Platón se oponía a la observación de la naturaleza, en lo que difería radicalmente con Aristóteles.Eudoxo (Eudoxio) de Cnido (408 a.C. – 355 a.C) ó (390 a.C. – 337 a.C.)

Como muchos de los hombres que se han dedicado a la Matemática, Eudoxio sufrió de extrema pobreza en su juventud. Platón estaba en sus años mozos cuando vivía Eudoxo y Aristóteles tenía alrededor de los 30 años cuándo Eudoxio murió. Siendo joven, Eudoxio se trasladó a Atenas desde Tarento, donde había estudiado con Archytas (428-347 a. de J. C.), un excelente matemático, administrador y soldado.Hacia el año 350 AC Eudoxo se trasladó a la ciudad de Cnido, donde encontró un régimen democrático recién establecido. Allí recibió la tarea a de escribir la nueva constitución. Otros trabajos que realizó Eudoxo fueron: el trazado de un mapa del cielo desde un observatorio construido por el mismo a orillas del Nilo, estudios de calendarios y registro de cambios estaciónales, y estudios meteorológicos y crecientes del Nilo.

Llegado a Atenas, Eudoxio pronto encontró a Platón. Aunque Platón no era un matemático en el sentido técnico, fue llamado "el hacedor de la Matemática". Su notable influencia para el desarrollo de la Matemática fue probablemente perniciosa. Pero rápidamente reconoció lo que era Eudoxio y fue su amigo devoto hasta que comenzó a sentir celos por su brillante protegido. Realizó un serio estudio de Astronomía, a la cual enriqueció con notables contribuciones. En su construcción científica se encontraba varios siglos adelante, en comparación con sus “verbalizantes” filósofos contemporáneos. Tenía un gran desprecio por las especulaciones acerca del Universo físico, como posteriormente Galileo y Newton, que no pudieran ser comprobadas por la observación y la experiencia.

En el campo de la Geometría, influyó de manera importante sobre Euclides por la teoría de las proporciones y el método exhaustivo, por lo que se ha considerado el padre del cálculo integral. La primera fue la solución más antigua a los números irracionales -que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros- . El método exhaustivo le permitió abordar el problema del cálculo de áreas y volúmenes como el de la pirámide de la cual dedujo que su volumen es un tercio del de un prisma que tenga la misma base. Asimismo, dividió la esfera celeste en grados de longitud y latitud. Eudoxo nunca escribió sus conclusiones geométricas y solo las trasmitió oralmente. Estas fueron pasando de generación en generación hasta nuestros días.

Por otro lado, combatió violentamente los horóscopos diciendo que: "Cuando se creen hacer previsiones acerca de la vida de un ciudadano con sus horóscopos basados en la fecha de su nacimiento no debemos dar crédito alguno, pues las influencias de los astros son tan complicadas de calcular que no existe hombre en la faz de la tierra que lo pueda hacer".

También fue el primer astrónomo que estableció que la duración del año era mayor en 6 horas a los 365 días. En su segundo libro llamado Las Velocidades, explicó el movimiento del Sol, la Luna y los planetas e introdujo un ingenioso sistema que podía satisfacer las premisas de Platón, el de las “esferas homocéntricas”. Supone que la Tierra permanecía inmóvil en el centro, y el resto de los planetas, la Luna y el Sol eran formas esféricas que ejecutaban movimientos circulares alrededor de ella. Las estrellas fijas eran el único cuerpo celeste que sólo tenía una esfera motriz; en cambio consideraba tres esferas para el Sol y la Luna y cuatro para cada uno de los cinco planetas, con diferentes ejes de giro. Estas esferas estaban situadas unas dentro de otras, todas ellas concéntricas con la Tierra. De esta manera, se explicaban los retardos y los bucles de los planetas, así como los movimientos oblicuos a lo largo de la eclíptica.

Cada una de estas esferas requeridas para un planeta tenía su propia función. La más externa de las cuatro explicaba el movimiento del planeta que compartía con la esfera celeste: esto es, la salida y puesta de cada día. La segunda esfera daba el movimiento del planeta a lo largo de la eclíptica, llevándolo alrededor del zodíaco en un período que dependía del planeta, y que oscilaba de un mes para la Luna a unos treinta años para Saturno. Las dos esferas, interiores y restantes, cuyos ejes formaban un ángulo con las otras, permitían explicar las variaciones de velocidad a lo largo de su trayectoria, así como su cambios de latitud respecto al plano de la eclíptica.

Para hacer un poco de luz en esta teoría, explicaremos a continuación el caso concreto del Sol (Fig. 1): los pitagóricos ya habían distinguido en él dos movimientos simples, el movimiento diurno y el movimiento anual, por lo que Eudoxo imaginó una esfera para cada uno de ellos. Así, la primera giraría a velocidad constante de este a oeste cada veinticuatro horas, y su eje pasaría por los polos norte y sur celestes. En el interior de esta esfera, y en contacto con ella, habría otra que explicaría el recorrido anual del Sol a lo largo de la eclíptica, por lo que su eje estaría inclinado 23,5º respecto a los polos celestes de la anterior, y giraría de oeste a este. Para finalizar, dentro de la segunda habría una tercera esfera que explicaría el movimiento latitudinal del Sol, aunque al no apartarse este astro de la eclíptica, en teoría podría prescindirse de ella. De todas formas, sería esta última la que contendría al Sol.

Para la Luna, explica la función de cada una de las esferas, la exterior, -como ocurría en todos los casos- giraba exactamente como la de las estrellas fijas, la segunda tenía un movimiento más lento de revolución, lo realizaba en 223 lunaciones –unos 17 años- según un eje perpendicular a la eclíptica; y por último la interior se movía en sentido contrario a la anterior y formando un ángulo de 5º respecto a la eclíptica en un tiempo de poco mas de 27 días, (mes draconítico) el tiempo que tardaba la luna en cruzar dos veces consecutivas el plano de la eclíptica, o sea lleva nuevamente a la Luna al nodo. De esta manera con las dos esferas interiores explica la variación de latitud respecto a la eclíptica y la periodicidad de los eclipses; y además la retrogradación de los nodos respecto a la eclíptica, que requiere un tiempo equivalente a 223 lunaciones, unos 18 años[17].

El desafío de los planetas era acuciante: presentaban no sólo cambios de velocidad, puntos estacionarios y desviaciones de la eclíptica, sino retrogradaciones, cuya explicación llevaría a Eudoxo a introducir su famosa hipopede (traba de caballería en forma de 8) o lemniscata esférica (Fig. 2). Para lo cual necesitó introducir una cuarta esfera. La hipopede resultaba del movimiento combinado de las dos esferas más internas: el periodo de rotación del planeta sobre esta figura correspondía al periodo sinódico del planeta -el tiempo que le lleva recuperar la misma posición con relación al sol-, mientras que el de rotación sobre la esfera que lo portaba correspondía a su periodo sideral -el tiempo preciso para llegar a situarse bajo la misma estrella fija.-Quedaban así un total de 27 esferas para poder “salvar los fenómenos” en el Universo.Eudoxo consiguió explicar de una manera primaria los fenómenos celestes conocidos entonces, aunque trató por separado los movimientos de los planetas, uno a uno, nunca todos juntos. Por lo tanto, no puede calificarse su explicación como un modelo astronómico propiamente dicho, sino únicamente bajo la perspectiva de quien desea sólo comprender lo que observa. Es indudable que su teoría así formulada, solo parcialmente lograba dar un cuadro convincente de cómo funcionaba el sistema planetario. Pero todo lo que Platón pedía y todo la que Eudoxo dio, era una construcción intelectual que incluyera los principales fenómenos planetarios dentro de la estructura geométrica general. Aunque desde el punto de vista de Platón no tenía ninguna importancia si las esferas eran cosas materiales reales; se trataban de ideas matemáticas, no eran cuerpos sólidos.

Calipo de Cízico (370 a.C.-310 a.C.) trabajó con Aristóteles posiblemente hacia 330 a.C. Estudió en la escuela de Eudoxo y realizó observaciones astronómicas en el Helesponto. Su trabajo con Aristóteles en parte consistió en corregir y completar los descubrimientos de Eudoxo. Realizó determinaciones precisas sobre la duración de las estaciones y construyó un ciclo de 76 años que comprendían 940 meses para armonizar los años lunares y solares. Este calendario fue adoptado en el 330 a.C. y utilizado por astrónomos posteriores.

El calendario de Calipo estaba basado en el periodo metódico (siete años de 13 meses lunares y doce años de 12 meses lunares), diseñado por Metón (nacido alrededor del 460 a.C). El periodo Calípico es un ciclo de 4 periodos metónicos siendo más preciso que este, porque corregía la duración del año (365,25 días) que tenía un error en los cálculos de Metón (365 días). De esta manera el ciclo Calípico comprendía 940 meses lunares reduciendo la duración de los cuatro ciclos metónicos en un día. De esta manera Calipo hizo coincidir 940 meses lunares con 76 años tropicales de 365,25 días.Calipo advirtió las imperfecciones del sistema de Eudoxo y trató de eliminarlas agregando siete esferas mas, es decir, dos mas para el Sol, dos para la Luna, y una para cada uno de los planetas, excepto a Júpiter y Saturno; por lo que llevo al sistema a 34 esferas para explicar el movimiento de los cuerpos celestes. De esta manera el Sol, la Luna, Mercurio, Venus y Marte pasaban a tener cada uno, cinco esferas, mientras que Júpiter, Saturno poseían cuatro y las estrellas una. Esta adición de siete esferas al sistema de Eudoxo aumentó la precisión de la teoría que exponía que los planetas se movían en círculo perfectos. Otros trabajos de Calipo en matemáticas astronómicas incluyeron la observación de las diferencias de la duración de las estaciones explicando esto por variaciones en la rotación del Sol agregando –posteriormente- dos esferas más en su movimiento, lo que llevó el numero de esferas a 36.-Aristóteles (384-322 a.C.), el más universal de los sabios griegos, fue, para la ciencia, un gran biólogo mas no un gran físico. Disecó y clasificó de manera razonable muchas especies animales, entendió que el delfín no es un pez y, en cierto sentido, delineó una jerarquía de los seres vivos que insinuaba la idea de evolución. Con las ciencias exactas, Aristóteles no logró tales éxitos. Aceptó las esferas de Eudoxio pero las aumentó en número, con lo que éste superaba ya el medio centenar, erosionando así la sencillez de los modelos primitivos. Además, a diferencia de Eudoxio, que probablemente imaginaba las esferas celestes como una mera abstracción matemática, parece ser que el gran filósofo griego les confería una existencia física y real.En la Astronomía, Aristóteles propuso la existencia de un Universo esférico y finito que tendría a la Tierra como centro. La parte central estaba compuesta por cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. En su Física, cada uno de estos elementos tenía un lugar adecuado, determinado por su peso relativo o "gravedad específica". Cada elemento se movía, de forma natural, en línea recta -la tierra hacia abajo, el fuego hacia arriba- hacia el lugar que le correspondía, en el que se detendría una vez alcanzado, de lo que resultaba que el movimiento terrestre siempre era lineal y siempre acababa por detenerse. Los cielos, sin embargo, se movían de forma natural e infinita siguiendo un complejo movimiento circular, por lo que debían, conforme con la lógica, estar compuestos por un quinto elemento, que él llamaba aither, elemento superior que no era susceptible de sufrir cualquier cambio que no sea el de lugar realizado por medio de un movimiento circular. La teoría aristotélica de que el movimiento lineal siempre se lleva a cabo a través de un medio de resistencia es, en realidad, válida para todos los movimientos terrestres observables.El programa que esbozó Aristóteles para la física comprendía dos etapas. En primer lugar, había que establecer una teoría general del movimiento a partir de un estudio de las cosas familiares que se observan sobre la Tierra; luego, cabía esperar que se pudieran aplicar los principios físicos así establecidos a los cielos. Fue aquí donde se insertó el sistema de Eudoxo de las esferas geométricas concéntricas. Las construcciones geométricas que empleó Eudoxo ya sugerían claramente conexiones mecánicas. La tarea consistía en continuar en ese camino y ver hacia dónde conducía.Aristóteles decía, en primer término, que un esquema geométrico solo puede ser aceptable si satisface la condición de tener sentido mecánico, es decir, que debe adecuarse a nuestras ideas generales acerca de la materia y el movimiento. Estaba muy bien concebir una representación puramente geométrica del sistema planetario, pero para una comprensión real del mismo se necesitaba algo más: era menester determinar cómo se conectaban unas con otras las partes del mismo, o sea cómo funcionaba todo el sistema. Como esquema ideal, era admirable. Su ambición era hacer de la descripción geométrica que dio Eudoxo de los movimientos planetarios ("la cinemática planetaria"), la base para una teoría acerca de las interacciones que producen esos movimientos ('la dinámica planetaria'). Esto era precisamente lo que Newton iba a realizar siglos más tarde con la particular cinemática planetaria de Kepler.

Para Aristóteles, la explicación de Eudoxo tenía una gran deficiencia. En lo que respecta a la geometría, podía usarse el esquema de las veintisiete esferas concéntricas para construir órbitas planetarias muy semejantes a las observadas en la realidad. Pero Eudoxo no explicaba por qué los planetas se mueven de este modo, qué los obliga a continuar su viaje a lo largo de esas complicadas trayectorias. El problema más serio se encontraba entre el cuarteto de esferas pertenecientes a cada planeta y las cuatros de los planetas situados a continuación. Eudoxo había tratado la trayectoria de cada planeta como un problema independiente y el esquema resultante era mecánicamente incomprensible. Aristóteles podía aceptar la rotación de la esfera más externa, la esfera de las estrellas fijas, que cumplía una vuelta completa uniformemente, cada día. Esta esfera era el Primum Móbile, que derivaba directamente su rotación de la fuente divina de todos los movimientos celestes. Pero, ¿cómo se trasmitía a su vez esta rotación (correspondiente al mítico "eje de la Necesidad" de Platón) a cada una de las veintiséis esferas internas de Eudoxo?

No se podían dejar sin llenar los resquicios entre los diferentes cuartetos de esferas.

Por eso, Aristóteles concibió un mecanismo que daba al esquema un sentido mecánico coherente. El movimiento debía ser trasmitido, por ejemplo, desde la esfera más interior de Júpiter a la esfera más externa de Marte. ¿Cómo se realizaba esto? Las esferas externas de todos los planetas se movían de la misma manera —o sea, a la par con la esfera de las estrellas fijas—, de modo que cualquiera sea la conexión que hubiera entre las esferas de Júpiter y las de Marte debían quedar anulados los efectos de las tres esferas internas de Júpiter; pues son éstas las que en conjunto hacen que Júpiter se mueva de manera específica. El modo más simple de anular estos efectos era suponer que los lazos mecánicos introducidos por las tres esferas interiores de Júpiter se invertían, uno por uno, a medida que se avanzaba hacia el interior, hasta la esfera más externa de Marte. Como Aristóteles comprendió muy bien, esto ocurriría si entre Júpiter y las esferas de Marte se interpusieran tres esferas adicionales, cada una de las cuales se movería exactamente en el sentido inverso al movimiento de una de las tres esferas interiores de Júpiter. Algo semejante ocurriría con respecto a los otros abismos interplanetarios.Supongamos que todos estos eslabones de los engranajes celestes rotaran uniformemente en círculos alrededor de sus propios ejes y, al mismo tiempo, trasmitieran a las esferas interiores un movimiento cuyo origen último sea la esfera de las estrellas fijas. Tenemos entonces un esquema de conexiones que introduciría en la teoría planetaria una armonía con sentido mecánico.Eudoxo suponía que los movimientos del Sol o de la Luna involucraban, en uno u otro caso, la existencia de tres esferas y que el movimiento de cada uno de los planetas suponía la existencia de cuatro esferas [o sea veintiséis en total].

Calipo asignó a las esferas las mismas posiciones que Eudoxo. Pero, aunque asignó a Júpiter y a Saturno el mismo número que Eudoxo, consideraba que para explicar los hechos observados, era necesario agregar dos esferas más para el Sol y dos para la Luna; y también una más para cada uno de los planetas restantes [o sea, treinta y cinco en total].

Pero, a fin de que la combinación de todas las esferas permita explicar los hechos observados, era necesario que para cada uno de los planetas hubiera esferas adicionales —una menos que las asignadas hasta ahora—, para compensar a las anteriores y reinstaurar a la esfera más externa del planeta siguiente en su posición propia; pues solamente así podían producir todos los agentes que intervienen el movimiento observado de los planetas. El número de todas las esferas, de las que mueven a los planetas y de las que compensan sus movimientos, sería de cincuenta y cinco.-Así, el esquema planetario completamente desarrollado que resultó de la obra de los filósofos atenienses clásicos, representó a los cielos como una serie de caparazones esféricos, encajados unos dentro de otros, en número de cincuenta y seis y con la Tierra en el centro. La más grande de todas era la esfera divina, que se movía por sí misma y que contenía a las estrellas fijas. La esfera más externa de Saturno rotaba a la par con la anterior, y había otras tres esferas que explicaban el movimiento propio del planeta, producido directamente por la más interna de las cuatro, a la cual se hallaba unido. Tres esferas compensatorias unían las esferas más pequeñas de Saturno con la más grande de Júpiter; de este modo, Saturno tenía en total siete esferas unidas entre sí y asociadas con su movimiento. Júpiter, también tenía siete; Marte, el Sol, Venus y Mercurio tenían nueve cada uno, cinco para producir su movimiento, cuatro para "compensar". Finalmente, la Luna tenía cinco.

Solo la esfera más exterior tenía un movimiento simple, las cincuenta y cinco esferas restantes tenían sus complejos movimientos ligados a ella. Solo la Tierra estaba en reposo, en el centro de ese pandemónium de esferas. La primera esfera contenía a la Luna que dividía al mundo en dos: el mundo sublunar, el del cambio constante, dominado por los cuatro elementos; y el supra lunar inmutable, sin cambios, donde regía la quinta esencia, lo divino, (lo que parece un contra sentido porque en ese espacio se movían los planetas y el Sol. ¿Será que estos no generaban un caos, pese a lo complicado de sus movimientos, como lo que ocurría bajo la esfera Lunar?)

Heráclides de Ponto (288-310 a.C.) fue el primer ser humano del que tenemos constancia objetiva que defendió la idea de que la Tierra giraba alrededor de su eje. A esta idea se opuso firmemente Aristóteles, señalando varias pruebas empíricas en apariencia irrefutables, como indicar que si se arrojara un objeto hacia arriba y la Tierra estuviera rotando, éste no caería en el mismo lugar donde fue arrojado. Como buen platónico, Heráclides siguió colocando a nuestro planeta en el centro del Universo, pero situó a Mercurio y Venus girando alrededor del Sol (que, a su vez, giraba en torno a la Tierra), lo que contribuía a explicar sus variaciones de brillo conforme se acercaran o alejaran a la Tierra. Fue una lástima que no fuera un paso más allá y comprendiera que ocurre lo mismo con todos los demás planetas, lo que le habría llevado a desarrollar el primer sistema heliocéntrico de la Historia.

Si bien estas ideas de las esferas celestiales homocéntricas fueron dadas y tuvieron su esplendor hace más de dos siglos, aún perduran algunas expresiones que son bastante comunes en nuestro lenguaje: “…en las esferas del poder…”, “…están fuera de las esferas de influencia…”, “…en las altas esferas de los negocios…”, “…en esferas cercanas al presidente…”, “…estaba encerrada en una esfera, ignorando…”Con lo cual es posible decir que Eudoxo aún sigue vigente entre nosotros.

Bibliografía:

Sarton, George. Historia de la Ciencia. Tomos I y II . EUDEBA, 19652. Mieli, Aldo.

Panorama General de la Historia de la Ciencia Tomo I El mundo antiguo. Ed. Espasa Calpe Argentina S.A., 19453.

Toulmin, Stephen y Goodfield, June, The Fabric of the Heavens Ed. Hutchinson & Co., London, 19614.

Schurmann, Paul. Historia de la Física Tomos I y II Ed. Nova Bs Aires, 19455.

Collette, Jean-Paul. Historia de las Matemáticas Tomo I Ed. Siglo XXI, 1986

JACQUES DERRIDA: LA ESCRITURA, NÚCLEO FUNDAMENTAL DEL LENGUAJE.

2009-06-01T20:48:00.001-03:00

2. Jacques Derrida: La escritura, núcleo fundamental del lenguaje
Prof. Ester Tuchsznaider

El concepto de la escritura como técnica al servicio del lenguaje y la exaltación del habla como núcleo originario y genuino del lenguaje corresponden a un largo y necesario momento del desarrollo del pensamiento, en el cual éste logró ocultar que el lenguaje no es sino una especie de la escritura. Ese período, que se ha extendido por tres mil años, coincide con el de la metafísica logocéntrica.

Un concepto más amplio de escritura inaugura la destrucción, la de-construcción, de todas las significaciones atadas a la de logos; en primer lugar, la de verdad. Esto es, de la idea de que entre el alma y el ser como presencia se da una traducción o significación natural; de la creencia en que el pensamiento se expresa directa y primariamente en la voz y de que las convenciones primeras son lenguaje hablado, lo que haría de la escritura un sistema de convenciones que fijan otras convenciones.

Así, la época del logos rebaja la escritura, pensada como mediación de mediación y caída en la exterioridad del sentido. A esta época pertenecería la diferencia entre significado y significante o, al menos, la extraña distancia de su ‘paralelismo’ y la exterioridad, por reducida que sea, del uno al otro.[1]

En efecto, la distinción significante-significado no es más que la transposición al plano lingüístico de la dualidad sensible-inteligible, materia-forma, trascendental-empírico, realidad-idealidad, categorías heredadas de la tradición metafísica occidental. Es esa metafísica la que ha de ser revisada, de-construida, para intentar un entendimiento genuino de la naturaleza del signo lingüístico y de cuál es el lugar de la escritura. Esa misma metafísica, con sus oposiciones, opera, en forma de supuesto, en el campo que los lingüistas y semiólogos creen propiamente científico. Esa metafísica, y el concepto de escritura como suplemento que ella propicia, están llegando a su fin. De ahí la ampliación actual de la comprensión del concepto de escritura: al entender la escritura fonética como máximo logro en relación con otros sistemas, culminación del desarrollo de registros más o menos imperfectos del logos, se produjo un angostamiento del campo y se propició, al mismo tiempo, una desestimación de la escritura. La diferencia entre significante y significado, cuyas raíces es posible hallar entre los estoicos, no puede ser sostenida por las ciencias del lenguaje sin aceptar, al tiempo, toda la metafísica con la que ella es coherente. “La cara inteligible del signo permanece dada vuelta hacia el lado del verbo y de la cara de Dios.”[2]Según Derrida, hay una solidaridad sistemática entre las nociones de divinidad y de signo: “El signo y la divinidad tienen el mismo lugar y el mismo momento de nacimiento.” El concepto de signo pertenece a la filosofía y está determinado por su historia. A la idea de signo le es inherente la de exterioridad del significante, porque a éste le precede un sentido constituido por el logos. El significado tiene una relación inmediata con el logos en general, y mediata con el significante.Esa tradición opone una escritura divina, inteligible, natural y universal, a la inscripción humana, artificiosa, laboriosa, sensible y finita. Interpreta el mundo todo como una escritura: la naturaleza es un libro escrito en caracteres matemáticos. Ese libro es la totalidad del significante, posible por la preexistencia de la totalidad del significado. La escritura natural, unida a la voz interior que es “presencia plena y veraz del habla divina”, es ley natural inscripta en el alma. “La exterioridad del significante es la exterioridad de la escritura en general y, más adelante, trataremos de mostrar que no hay signo lingüístico antes de la escritura. Sin esta exterioridad la idea de signo cae en ruinas.”[3]

Para la época a la que este concepto pertenece, la lectura y la escritura, la producción y la interpretación de los signos, el texto en general, son secundarios. Una verdad ya constituida los precede. El significado está en una relación inmediata con un logos finito o infinito, y sólo tiene una relación mediata con el significante. De ahí la exterioridad de la escritura.La Lingüística, modelo para las ciencias humanas, se ha dotado de cientificidad por su fundamento fonológico. Pero, como ciencia positiva, reposa en supuestos metafísicos, que no son otros que los de esa metafísica del logos. Así se explica que su objeto sea entendido como unidad inmediata y privilegiada que funda la significancia y el acto del lenguaje: la unidad del sonido y el sentido en la fonía. Frente a ella, la escritura es derivada. Si una Gramatología se constituyese, le debería estar subordinada. Y allí se deja ver la contradicción en la que la Lingüística está atrapada. En efecto, la subordinación de la Gramatología sólo se justifica si la escritura es mera representación del habla, lo cual sólo vale para un tipo de escritura, la fonética, la que, no sólo es la propia sino la que en esta tradición metafísica se exalta como sistema más perfecto de escritura, meta a la que se encaminaron todos los otros intentos históricos de desarrollo de sistemas de escritura. Y aún más: ni siquiera se está tomando como modelo la escritura fonética tal como de hecho ella funciona, porque, de hecho, ella nunca es íntegramente fonética. El fonetismo no es sino su ideal. No obstante, nada exige que la escritura sea esencialmente fonética. Y nunca ha existido una práctica de escritura que fuese puramente fiel al principio fonético: “Nunca ha existido una práctica que fuese puramente fiel a su principio.”[4]

Por tanto, “El sistema de la escritura en general no es exterior al sistema de la lengua en general.”[5]

Así como el concepto de lenguaje había sido extendido hasta designar la facultad general que explica la capacidad de sustituir algo por algo, es decir, la facultad de generar, organizar, emplear, reconocer y comprender signos de cualquier tipo (no sólo signos verbales), de la misma manera el concepto de escritura ha de ser expandido en su alcance hasta su postulación como modo fundamental del lenguaje. En efecto, el ámbito de aplicación de la noción de escritura, de huella o de grafema, entendida como elemento esencial, excede hoy el campo de los sistemas semióticos que se valen de la inscripción, sea ésta pictográfica, ideográfica o literal. No sólo la matemática teórica sino la cibernética y las ciencias humanas revelan que la escritura fonética es apenas un estadio, una manifestación de la escritura.En los últimos tiempos, todo lo que anteriormente se agrupaba bajo el nombre de lenguaje, empieza a resumirse bajo el nombre de escritura: “Todo sucede como si el concepto occidental de lenguaje (...) se mostrara actualmente como la apariencia o el disfraz de una escritura primera.” Desde su concepción como duplicación accidental del habla hasta la idea exaltada de una escritura fundamental, la historia del concepto es eco de las formas que asume la escritura y de su imbricación en la evolución del hombre.Por ende, “O bien la escritura nunca fue un simple suplemento, o bien es urgente construir una nueva lógica del ‘suplemento’.”[6]

El privilegio de la phoné ha dominado toda una época de la historia del mundo y de las ideas, y ha confinado la escritura en una función secundaria. La escritura ha sido entendida como técnica, como portavoz e intérprete de la palabra, mientras el lenguaje, en verdad una especie de la escritura, usurpó el papel principal, en una aventura que parece estar llegando a su fin y que coincide con la técnica y la metafísica logocéntrica. Durante esa época, la escritura es vista como exterioridad respecto del sentido, entendido éste como presencia. Por eso a veces la filosofía creyó poder eximirse de ella. Por eso, la astucia laboriosa de Rousseau para descalificar el interés que él mismo había acordado a la escritura en el Ensayo…:Tal es la situación de la escritura dentro de la historia de la metafísica: tema rebajado, lateralizado, reprimido, desplazado, pero que ejerce una presión permanente y obsesiva desde el lugar donde queda contenido. Se trata de raspar una escritura temida porque ella misma tacha la presencia de lo propio dentro del habla.[7]

Derrida dedica la segunda parte de su tratado De la gramatología (1967) al análisis de la forma que asume el logocentrismo en el pensamiento de Jean Jacques Rousseau. Su obra le parece ocupar un lugar singular en la historia del fonologismo abierta por Platón y culminada por la Enciclopedia de Hegel. Derrida señala a Rousseau como el único o el primero de los metafísicos en convertir en tema la escritura. El tema de la presencia, ya abordado en el Fedro y en De interpretacione, se renueva: es la presencia consigo del sujeto en la conciencia o en el sentimiento. En la certeza del cogito cartesiano, la evidencia era la presencia misma de la idea para el alma; todo signo le sería exterior y accesorio. “Hegel reapropia el signo sensible al movimiento de la Idea. Critica a Leibniz y realiza el elogio la escritura fonética en el horizonte de un logos absolutamente presente consigo... Pero ni Descartes ni Hegel se han enfrentado con el problema de la escritura.” [8]

Las tentativas del estilo de la característica leibniziana habían abierto una brecha en la seguridad logocéntrica y fue Rousseau quien las condenó en forma explícita precisamente porque parecían suspender la voz. “‘A través’ de esa condenación, puede leerse la reacción más enérgica que organiza en el siglo XVIII la defensa del fonologismo y de la metafísica logocéntrica. Entonces lo que amenaza es la escritura.” [9]

La amenaza no era aislada o accidental: era el momento del descubrimiento de las escrituras no europeas y de los progresos en las técnicas de desciframiento, en síntesis, de la posibilidad de la constitución de una ciencia general del lenguaje y de la escritura. La teoría rousseauniana de la escritura que se alza contra esa amenaza se inserta en la tradición logocéntrica e inspira todavía, y especialmente en Francia, el discurso dominante.

Pero, en verdad, el concepto de escritura excede e implica el de lenguaje. Así como antes se extendió el término ‘lenguaje’ para nombrar con él otras instancias de la cultura, así hoy se empieza a entender que escritura es mucho más que la inscripción literal, pictográfica o ideográfica: es la totalidad de lo que la hace posible, es...todo aquello que pueda dar lugar a una inscripción en general, sea o no literal e inclusive si lo que ella distribuye en el espacio es extraño al orden de la voz: cinematografía, coreografía, por cierto, pero también ‘escritura’ pictórica, musical, escultórica, etc...También es en este sentido que el biólogo habla hoy de escritura y de pro-grama a propósito de los procesos más elementales de la información en la célula viva. En fin,...todo el campo cubierto por el programa cibernético será un campo de escritura. [10]

La descentralización del habla y de la escritura que le está subordinada está preanunciada desde el mismo territorio de la ciencia, donde la escritura de la matemática teórica niega, desde el interior del lenguaje científico, el ideal de la escritura fonética y toda su metafísica implícita. La ciencia, cuya idea nació en una cierta época de la escritura, que está ligada a la aventura de la escritura fonética y que tiene en ella la condición de posibilidad de sus objetos ideales, no ha dado lugar a una gramatología, que habría de ser la ciencia de la posibilidad de la ciencia: una ciencia que ya no tendría la forma de una lógica sino de una gramática. En cambio, la ciencia ha desarrollado la moderna lingüística, de orientación deliberadamente fonológica, que deja para el gramatólogo el registro anecdótico del devenir de los tipos de escritura desde un enfoque de historiador o de arqueólogo. El lingüista desconfía de la escritura y lo hace porque ha erigido en modelo a la escritura fonética, que nunca ha sido tan perfecta ni tan ‘inteligente’ como se pretende: “...pueden señalarse fenómenos masivos en la escritura matemática o en la puntuación, en el espaciamiento en general, que son difíciles de considerar como simples accesorios de la escritura”.[11]

Finalizando su análisis del pensamiento de Saussure, afirma Derrida:Es necesario pensar ahora que la escritura es, al mismo tiempo, más externa al habla, no siendo su ‘imagen’ o su ‘símbolo’, y más interna al habla, que en sí misma ya es una escritura. Antes de estar ligada a la incisión, al grabado, al dibujo, o a la letra, a un significante que en general remitiría a un significante significado por él, el concepto de grafía implica, como la posibilidad común a todos los sistemas de significación, la instancia de la huella instituida. [12]

Esa huella instituida es inmotivada, ‘arbitraria’ dice Saussure, pero que no tenga un vínculo natural con aquello que significa no implica la ausencia de vínculo. Derrida señala que la huella es siempre devenida y que Peirce ha logrado compatibilizar lo arbitrario del signo y su enraizamiento en un orden de significación anterior y ligado. Ese enraizamiento no remite a una presencia sino que remite de un signo a otro signo:Ningún suelo de no-significación –ya sea que se lo entienda como insignificancia o como intuición de una verdad presente- se extiende , para fundarlo, bajo el juego y el devenir de los signos. La semiótica ya no depende de la Lógica. La Lógica, según Peirce sólo es una semiótica. [13]

Lo que inaugura el movimiento de la significación es lo que hace imposible su interrupción. La cosa misma es un signo.[14]

La gramatología que Derrida sueña cubriría entonces todo el campo, incluiría a la lingüística y reemplazaría a la semiología propuesta por Saussure en el Curso. Se daría así a la teoría de la escritura la envergadura necesaria contra la represión logocéntrica y la subordinación a la lingüística, y se liberaría de esta manera a la semiología de la tiranía del signo lingüístico, erigido como estaba, en signo-maestro, ejemplar, modelo rector, ‘patrón’ general de toda la semiología. Derrida reacciona ante el extremo a que Barthes ha llevado la propuesta saussuriana e invierte totalmente los términos. Mientras Saussure había reconocido que la lengua es un sistema particular de signos y había ubicado la lingüística como disciplina privilegiada pero integrante de la Semiología, Barthes realiza-según Derrida- la más profunda intención del Curso: concibe la semiología como una parte de la lingüística. El extremo hace explícitos todos sus supuestos metafísicos y engendra su opuesto. Hjemslev, recordando las palabras de Bertrand Russell acerca de que no tenemos medios para decidir si la forma de expresión más antigua fue el habla o la escritura, había iniciado ya un camino similar al reconocer la especificidad de la escritura e inaugurar el campo de investigación que denomina ‘glosemática’.La gramatología como ciencia debería responder a los problemas del origen y de la esencia de la escritura. Para determinar cuál es el origen, es menester establecer primero qué es la escritura. Una teoría de la escritura debe ser la base de una historia de la escritura, pero, de hecho, la investigación científica tomó primero y más sólidamente la forma de una historia. Las técnicas de desciframiento, la discusión sobre la naturaleza fonética o no fonética de sistemas diferentes al alfabético, la interpretación del mito como escritura originaria, la linealidad, el espaciamiento, la posibilidad de una retórica gráfica, son algunos de los problemas que esta ciencia debe investigar.

HYPATIA EDITORIALIZA

2009-06-01T20:45:00.000-03:00

1. HYPATIA EDITORIALIZA:

En la Ciudad y en el País, hemos elegido autoridades de gobierno y representantes a órganos legislativos. Pero… ¿hemos superado la crisis?A nivel nacional, el Lic. Daniel Filmus pasa a ser senador, pero la UNESCO y el BID siguen siendo el “FONDO” del escenario educativo y -sin despeinarse- el Dr. Juan Carlos Tedesco, su principal activista en el Estado Nacional, seguirá siendo el guionista y actor protagónico del Drama Educativo que bien podría llamarse: “La devastación de lo público”… ¿Será a esto que se refieren con el concepto de “Continuidad en el cambio”?Es que a su cuenta ha de cargarse la LEY de EDUCACIÓN NACIONAL, envoltura discursiva progresista para envolver y perpetuar el “presente griego” que nos legaran la dictadura y el menemismo en los ´90: La fragmentación neoliberal y el abandono estatal del sistema educativo nacional. Suma a esa cuenta, la creación del Consejo Federal para la Formación Docente, órgano para delinear las políticas para la formación docente, en la que no ha sido prevista ni permitida la creación de ninguna representación para los formadores de docentes !!! Agrega a la cuenta, la creación del INFoD (Instituto Nacional de Formación Docente) para implementar las políticas del Consejo. En el INFoD lograron “conchabarse” muchos -muchísimos- Licenciados en Ciencias de la Educación y otros “gogos”, muchos de los cuales nunca dieron clase en una Escuela, pero eso sí: casi todos son… íntimos amigos de los funcionarios en el Poder. Todo muy en silencio… ¿hemos superado la crisis?En la Ciudad, hemos de reconocer que la Directora General de Educación Superior, Lic. Andrea. Allaud, mas allá de algunas improvisaciones en la gestión de las crisis edilicias, ha tomado algunas iniciativas académicas interesantes: ha auspiciado proyectos, ha iniciado nuevas carreras, etc. Pero, desde allí para arriba, incluida la Ministra Ana Clement… hace rato que se fueron !!! Mientras que “los entrantes”… todavía no llegaron. Nadie gobierna. ¿Continuidad en el cambio?En el IES Nº 2 “Mariano Acosta”, entre tanto, estamos volviendo (perdón, pero a la situación le corresponde el gerundio, un gerundio que tiende a perpetuarse). Estamos volviendo -muy de a poco y en condiciones de uso muy precarias- a nuestro viejo y nunca totalmente remozado edificio histórico, sin más que algunas aulas… mucho -muchísimo- cansancio y ninguna resignación. Nuestro preciado legado cultural y algunos signos incipientes de revitalización de proyectos compartidos nos animan a retomar la iniciativa e intentar formar-nos con creatividad, sosteniendo el compromiso ético. Una manifestación de esto es la ampliación del espacio expresivo de Hypatia, otra -más valiosa- es la enriquecida calidad de las producciones de los autores que contribuyen con la revista. Desde aquí, un sentido agradecimiento a todos ellos… y una invitación a los que vendrán. Además, un guiño al pujante trabajo del “Grupo de Teatro” y a la esmerada tarea de “Esas perras negras”… ¿Cambio en la continuidad?Durante la “diáspora” del IES 2, también hemos elegido autoridades de gobierno y representantes a órganos resolutivos, pero… aún así ¿hemos superado la crisis?

INTUICIÓN Y VERDAD

2009-05-11T22:07:00.002-03:00

5.- INTUICIÓN Y VERDAD
Prof. Gustavo Piñeiro

1. Introducción: el enfoque gráfico
Cuando se enseña Análisis Matemático, más precisamente cuando se dicta un curso de Análisis I, es común apoyarse fuertemente en la intuición geométrica. Muchas veces, al plantear definiciones o demostraciones, se apela a lo que aquí llamaremos la “intuición dibujística”, es decir se recurre al gráfico como herramienta principal de la definición o del razonamiento en cuestión. Por ejemplo, es común que se diga que una función continua es aquella “cuyo gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel”. Las discontinuidades coinciden, según esta idea gráfica, con aquellos puntos en los que nos vemos obligados a levantar el lápiz del papel, tal como sucede por ejemplo en x = 0 para la función f(x) = . Posteriormente suele darse una definición más formal basada en la noción de límite, pero el concepto “dibujístico” inicial nunca es abandonado.Este enfoque gráfico no es para nada criticable, muy por el contrario, una aproximación gráfica intuitiva permite una mejor asimilación de los conceptos por parte de los alumnos. Por otra parte, este enfoque está totalmente de acuerdo con el desarrollo histórico de los conceptos, pues el Análisis fue inicialmente una herramienta para el estudio de curvas en tanto que objetos geométricos y sólo mucho después se transformó en el estudio de funciones.¿Pero deben los docentes quedarse únicamente con esta visión “dibujística” del Análisis? ¿Es la intuición geométrica suficiente para todos los fines? ¿Es realmente suficiente para distinguir la verdad de la mentira (al menos en el Análisis, ya que seguramente no en otros órdenes de la vida)?La intención en estas líneas es mostrar que el enfoque gráfico es insuficiente para distinguir cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Como método de razonamiento puede llevarnos a conclusiones erróneas. Está muy bien usar el método “dibujístico” como herramienta para la enseñanza, pero sería un grave error que el docente creyera que ese enfoque bastará para comprender adecuadamente todos los conceptos del Análisis (aun conceptos aparentemente tan sencillos como la noción de función continua). Presentaremos en estas líneas algunos ejemplos en los que se verá cómo la noción gráfica puede engañarnos.

2. El Teorema de Bolzano
Una propiedad fundamental de las funciones continuas es el llamado Teorema de Bolzano, que afirma que: si f : [a,b] ® R es una función continua tal que f(a) y f(b) tienen distinto signo (es decir, f(a) es positivo y f(b) es negativo, o viceversa) entonces existe algún c Î (a,b) tal que f(c) = 0. Tomemos la definición “dibujística” de la noción de continuidad y veamos, a modo de ejemplo, un razonamiento que justifique este teorema.Supongamos que f(a) <> 0 (si los signos fuesen al revés el razonamiento es igual). Gráficamente, que f(a) < x =" a"> 0 significa que en ese punto el gráfico está por arriba del eje x. Que f(c) = 0 quiere decir que en x = c el gráfico corta al eje x.La traducción gráfica del Teorema de Bolzano (para el caso en que f(a) <> 0) es entonces la siguiente: si en x = a el gráfico de f está por debajo del eje x y en x = b está por encima, entonces existe algún punto entre a y b donde el gráfico corta al eje x.La demostración gráfica es inmediata: si en x = a el gráfico está por debajo del eje x y en x = b está por encima y además no hay saltos (porque la función es continua) entonces, inevitablemente, la curva tuvo que cortar al eje en al menos un punto. En cualquiera de esos puntos de corte tenemos un valor de c en el que f(c) = 0.¿Es correcto este razonamiento? Todos estaríamos tentados de decir que sí y ninguno de nosotros, puestos en el trance de enseñar Análisis I, dudaría en usarlo para justificar el Teorema de Bolzano. Más aún, el autor de estas líneas, docente de Análisis Matemático en el CBC de la UBA, ha usado la definición “dibujística” de continuidad citada más arriba así como el razonamiento que acabamos de exponer para justificar el Teorema de Bolzano.Pero si este razonamiento es correcto, ¿por qué muchos libros de Análisis (especialmente los buenos libros de Análisis) suelen demostrar el Teorema de Bolzano de una manera mucho más complicada y menos intuitiva? (Véase por ejemplo Kuratowski, citado en la bibliografía) ¿Por qué se apela a pruebas complicadas, siendo que el argumento gráfico es tan claro e intuitivo? ¿Por pura maldad? ¿Puro rebuscamiento? ¿Excesivo amor al rigor lógico? La respuesta es que se apela a razonamientos no “dibujísticos” porque, como anticipamos más arriba, esos razonamientos son engañosos, traicioneros, pues así como sirven para convencernos fácilmente de afirmaciones verdaderas, con la misma facilidad pueden convencernos de afirmaciones que son completamente falsas.A modo de ejemplo, vamos a exponer cuatro afirmaciones de Análisis I. Cada una de estas afirmaciones será “demostrada” mediante un razonamiento “dibujístico” similar al que expusimos para el Teorema de Bolzano. Sin embargo, al menos una de esas afirmaciones es falsa. Es decir, daremos al menos un razonamiento que nos convencerá de algo que es falso.Invitamos a los lectores a que, después de que leer cada ejemplo, intenten determinar si la afirmación que se enuncia es verdadera o falsa. En la séptima sección diremos cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.

3. Primer ejemplo
Primera afirmación: toda función continua es derivable, excepto eventualmente en un conjunto aislado de puntos.Antes de ser “demostrada”, esta afirmación requiere alguna explicación. Desde el punto de vista “dibujístico”, una función es derivable si su gráfico es suave, es decir, si no tiene ángulos ni vértices. En los puntos donde aparecen esos ángulos la derivabilidad falla. Por ejemplo, es bien sabido que la función f(x) = x no es derivable en x = 0. Esto se observa claramente en el dibujo, pues en x = 0 el gráfico en forma de V del módulo tiene un vértice bien visible:(Nótese, por otra parte, que la función sí es derivable en cualquier otro punto y que su derivada vale 1 si x > 0 y –1 si x < s =" 1" r =" 0,5" t =" 1,5" s =" 1,5;" style="" href="http://www.blogger.com/rearrange?blogID=3689132193383213256&action=editWidget&sectionId=footer&widgetType=Text#_ftn11" name="_ftnref11" title="">[10]Es interesante notar que es muy difícil, por no decir imposible, imaginar correctamente el gráfico de esta función, que se parece a una nube horizontal de puntos a la altura de y = 1 y una nube similar, aunque no idéntica, a la altura de y = 0. Puede demostrarse, “dibujísticamente” o formalmente, que esta función es discontinua en todo R, todos los números reales son puntos de discontinuidad de esta función. Tanto el razonamiento “dibujístico” como el formal se basan en el hecho de que entre dos números reales hay infinitos números racionales y también infinitos números irracionales.La cuarta afirmación dice que es imposible dar una función que sea continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los racionales. Una función así tendría totalmente “mezclados” sus puntos de discontinuidad con sus puntos de continuidad y, de hecho, violaría lo afirmado en el ejemplo anterior. Este razonamiento parece probar que una función así no puede existir.

7. Respuestas
Esperamos que los lectores hayan podido reflexionar acerca de cuáles de las cuatro afirmaciones anteriores les parecen verdaderas y cuáles falsas. Pues bien, la respuesta es que las cuatro afirmaciones son falsas. En todos los casos el razonamiento “dibujístico” nos ha engañado.Mostraremos a continuación contraejemplos para cada una de las afirmaciones. Por razones de espacio no podremos demostrar que, en efecto, cada una de las funciones que mostraremos cumple las propiedades que vamos a atribuirles.Contraejemplo a la primera afirmación: recordemos que esta afirmación dice que una función continua es derivable excepto tal vez en un conjunto aislado de puntos. Esta afirmación es tan convincente que en 1806 André-Marie Ampère publicó una “demostración” gráfica de ella, que en aquel momento fue aceptada como correcta.En 1872, en una conferencia ante la Academia de Ciencias de Berlín, Karl Weierstrass mostró un ejemplo de una función que es continua en todo R, pero que no es derivable en ningún punto. Todos los números reales son puntos de no derivabilidad de esta función. Como curiosidad mostremos su fórmula: . Su gráfico es inimaginable, completamente “picudo por todos lados”. Puede encontrarse más información acerca de esta función en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-06.shtm#MandelbrotWeierstrass.Contraejemplo a la segunda afirmación: esta afirmación dice que si f : [0,1] ® R es una función continua tal que f(0) = 0 y f(1) = 1 entonces existe algún c donde f es derivable y además en ese punto la derivada es positiva. El contraejemplo en este caso es la llamada Función de Cantor, que se define por pasos sucesivos de la siguiente manera. Para comenzar dividimos el intervalo [0,1] en tres partes iguales, que son los subintervalos .En un primer paso definimos el valor de f para los x que están en el intervalo central. Para todo definimos . En el segundo paso dividimos cada uno de los dos intervalos de los extremos, es decir , en tres partes iguales y definimos f para cada uno de los dos novenos centrales. Para definimos y para definimos . Y así sucesivamente. Éste es el gráfico parcial de la función después de estos dos pasos:Al cabo de infinitos pasos, el gráfico tiene un aspecto similar al siguiente:Los que parecen ser segmentos oblicuos en realidad no lo son, ya que una ampliación de la imagen nos mostraría más segmentos horizontales unidos por aparentes segmentos oblicuos, que a su vez son segmentos horizontales más pequeños y así sucesivamente.En realidad el gráfico es, más o menos, un “pegoteo” de segmentos horizontales. Puede demostrarse que la Función de Cantor (también llamada Escalera del Diablo) es continua, que f(0) = 0, f(1) = 1, no es derivable en todos los puntos del intervalo [0,1], y que en todos los puntos donde es derivable, la derivada vale 0. Nunca la derivada es positiva. Más información sobre esta función se puede encontrar en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-05.shtm#EscaleraDiablo.Contraejemplo a la tercera afirmación: esta afirmación dice que si f : R ® R es continua en un punto entonces es continua en todo un intervalo alrededor de ese punto. Un contraejemplo para esta afirmación es la siguiente:Puede demostrarse que esta función es continua únicamente en x = 0 y en ningún otro punto.Contraejemplo a la cuarta afirmación: esta afirmación dice que es imposible definir una función f : R ® R que sea continua en todos los números irracionales, pero discontinua en todos los racionales. Vamos a exhibir una función que sí cumple las condiciones indicadas.Recordemos que todo número racional se puede escribir como una fracción , donde a y b son números enteros. Si ponemos la condición adicional de que b > 0 y que el máximo común divisor de a y b sea igual a 1, entonces la escritura como fracción es única. Podemos definir entonces la siguiente función:Puede demostrarse que esta función es continua en todo número irracional y discontinua en todo racional.8. Conclusión¿Por qué fallan los razonamientos “dibujísticos”? ¿Por qué es tan fácil ser engañados por ellos? Una respuesta posible, aunque seguramente sólo parcial, es la siguiente. Cuando pensamos en el gráfico de una función solemos pensar en curvas como ésta:Gráficos suaves, curvas bien visibles. Pero los gráficos, aun de las funciones continuas, pueden ser mucho más complicados de lo que podemos imaginar. El gráfico de la Función de Cantor, mostrado más arriba, que es en realidad un fractal, o el gráfico de la Función de Weierstrass, que es también un fractal, son muy difíciles de visualizar en toda su complejidad. No podemos confiar ciegamente en la intuición gráfica. Sólo las demostraciones formales nos dan seguridad de corrección. El razonamiento “dibujístico” es una excelente herramienta para la enseñanza, pero debemos ser plenamente concientes de sus limitaciones.

Bibliografía
GELBAUM, B.; OLMSTED, J – Counterexamples in Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1992.
KURATOWSKI, K. – Introducción al Cálculo – Editorial Limusa, México, 1995.
SPRECHER, D. – Elements of Real Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1970.

2009-05-11T22:01:00.012-03:00

Primero fui best seller en Exactas

por Liber Aparisi

Estamos en Belgrano y subimos al primer piso vacío de esta casa de estilo devenida en confitería moderna. Pide un café. En minutos está en medio de la producción fotográfica. Es muy amable, sobrio y agradable. Se interesa por la nota y en broma, le pregunto:...

Te retiraste de las matemáticas?
No, no tiene que ver con una decisión contra la matemática, para nada. Al contrario, siempre lo dije, estoy muy agradecido por esta especie de mirada adicional que da cualquier disciplina científica, es como una manera diferente de ver y de estar en el mundo.Tiene que ver simplemente con la lista de espera de los libros que tengo y el hecho, de que estoy por cumplir cuarenta y cinco años y me hace pensar en la necesidad de concentrar esfuerzos. Además en los últimos años tuve que invertir mucho tiempo también en viajar por el tema de los libros y las traducciones y me parece como más agradable en este momento de disponer el tiempo de esa manera. Después de muchos años de estar en la literatura puedo ahora vivir de mis libros, este tipo de factores hicieron que tomara esa decisión.

Imaginamos al escritor trabajando y lo que eso conlleva de soledad. Pero el matemático también, no? Cómo hacías para armar esas dos vidas en una?
Bueno, durante mucho tiempo fue así. Trataba de utilizar muy bien las vacaciones de verano ó bien en periodos largos, las mañanas. Pero inevitablemente cuando uno tiene una actividad pautada, rentada, de la que te exigen informes académicos, etc., cuando uno tiene alumnos de doctorado, ó tiene que evaluar proyectos y hacer sus propios trabajos de investigación siempre se reciente la parte mas débil, que es la parte del tiempo libre que uno le deja a la literatura. Quería revertir esa situación y poner en primer lugar, darle prioridad, al tiempo para la literatura. Lo hice en un principio a costa de sacrificar horas de la investigación. Y en este momento por el tipo de proyecto de trabajos que tengo por delante me siento más tranquilo, incluso con mi conciencia profesional, directamente dando un paso al costado en la matemática.

¿Pensaste en dar el paso al costado en la literatura?
Mientras estuve en Inglaterra. Fueron dos años, que prácticamente no escribí y lo sentí muchísimo. Es decir, me cuesta muchísimo mas trabajo pensar en sacrificar la literatura que en sacrificar la matemática. De hecho, igual no siento que me alejé para siempre de la matemática, tengo un proyecto, justamente con Gustavo Piñeiro de escribir un libro sobre el teorema de Gödel, en base a resultados sobre los que estuvimos trabajando mucho en los últimos años. Es un libro que de algún modo me va a mantener en contacto, pero desde un lugar un poco más tranquilo, sin exigencias diarias ó mensuales.

¿Ya te sentías reconocido como escritor dentro de la facultad?
Creo que el primer lugar donde fui best seller fue en Exactas. Si, me leían y fue el gran espaldarazo. Tengo la sensación de que crímenes imperceptibles de algún modo, explotó, como se dice en la jerga editorial, gracias a la gente de Exactas que lo compró.Creo que me habían leído antes, pero como mis libros aparecieron pocos a lo largo de muchos años, lo consideraban, y hasta en cierto punto lo hacia yo, como un hobby espaciado. Recién creo que yo mismo me empecé a sentir un escritor después que éste libro tuvo tanto éxito.Ayudanos a los lectores de la revista con ésto: ¿Por qué los alumnos fallan en matemática?Tengo una teoría un poco extraña, que es que la matemática entra en un momento equivocado, en general, en la vida de los chicos. No significa que no haya chicos dotados especialmente para las matemáticas desde muy temprano, pero me parece que en los primeros años del colegio primario es a la vez, el momento en que los chicos de esa edad aprenden mejor que cualquier adulto las habilidades que tienen que ver con las destrezas físicas, los deportes en particular, con la música y los instrumentos, que de algún modo involucra la destreza manual y los idiomas.Para mí, una educación razonable tendría que hacer hincapié en esos años primeros, en esas habilidades. Y la parte de la matemática desarrollarla a través de juegos como el ajedrez, juegos que están en las inmediaciones del pensamiento y que ayudan a lo que es la concentración, ayudan a lo que es la anticipación, el planteo de problemas, el desarrollo de estrategias. Juegos que tengan un espíritu, un aire matemático, así enseñaría yo la matemática en los primeros años.Y algo así intentan hacer en Inglaterra. No se preocupan demasiado por los contenidos de la educación hasta que los chicos no tienen nueve años y en los últimos años les enseñan todos los contenidos. En vez de repetir las tablas todos los años las enseñan una vez cuando son más grandes. Y les enseñan mucho mas en los últimos años que en los años anteriores, pero mientras tanto se va formando de algún modo como esa especie de maduración de lo abstracto que requiere lo matemático.Me parece que el primer encuentro con la matemática debería resultarle a los chicos fácil, familiar, agradable como puede resultar una materia como la literatura. Si los chicos escucharan cuentos desde que son chiquitos a la noche y llegan a la escuela y de pronto escuchan un cuento, bueno, es algo que esta dentro de un mundo familiar que les resulta agradable.Hay toda una parte de la matemática que tiene que ver con darles a entender a los chicos ó mostrarles, cómo también la matemática está ligada con la vida. Creo que ese es el gran aporte que intentan hacer libritos como el de Paenza (Adrián Paenza, ¿Matemática… estás ahí? 2005)

Ó como el de Pablo Amster, la matemática como una de las bellas artes; y Toda la colección Ciencia que ladra (dirigida por Diego Golombek, Siglo XXI editores)
Claro, mostrar como hay una vinculación natural. Y te diría incluso, desde el punto de vista práctico y también desde el punto de vista filosófico hay toda una manera de pensar en cosas de la vida diaria que tienen que ver, y aún en cuestiones puramente lógicas, con una mirada científica. Que el algunos no es lo mismo que el para todos. El hecho de que se verifique el n=1, n=2, n=3 no significa que se verifique para todo n. Son las verdaderas herramientas que uno puede recoger de la ciencia para todo, para la política, las discusiones, esos mínimos elementos de racionalidad que no están en la práctica diaria.
Hay algo también en la matemática que se parece a la naturaleza, en el sentido que uno tiene que también hacer las cosas. O sea, no sirve la inferencia lógica, hay algo en la naturaleza de cada problema que tiene que ver con lo que tiene que ver y ocurre también en la naturaleza. Y esto también está diciendo: Cuidado con la inducción.Lo mismo ocurre en un curso de matemática, ocurre con las raíces resolubles por radicales de polinomios. Hay métodos de resolución de grado 1, de grado 2, grado 3, grado 4, pero de grado 5 ya no hay métodos generales. Pero vos ya no podes explicarle eso a un chico, pero este ejemplo que hicimos antes sí se lo podes explicar. Y de algún modo es el mismo tipo de concepto: Cuidado con la manera en que se hace inducción, cuidado con el método de inducción.

¿Cómo fue lo tuyo en la secundaria?
Matemática fue la materia en la que peor me iba, sin ninguna duda....

ya tengo el título!
Sí, sin ninguna duda. No me iba mal, pero para las demás materias tenia una especie de afinidad inmediata, me daba cuenta inmediatamente como eran las líneas generatrices de lo que estaba estudiando y en cambio en la matemática no tenía eso. Nunca me sentí un matemático nato. Seguro hay un don matemático, indudablemente, incluso lo vi en uno de mis compañeros, de una facilidad, de una intuición acorde a la disciplina. Te juro que me sentaba y no estudiaba casi nada, porque en la secundaria me interesaba el tenis.

(...)
Prácticamente en toda la secundaria me dediqué a jugar al tenis, y un poco al ajedrez, un par de años. Lo intenté. Llegué a jugar los Nacionales pero no tenía ni de lejos la envergadura física que hay que tener como para ser tenista, entonces perdía inmediatamente. Pero si me dediqué de una manera absoluta.Entonces… Mejor la matemáticaCuando empecé la Universidad si me gustó la matemática y sobre todo una materia, creo que de álgebra en el fondo, pero que se hablaba de los diversos tipos de infinito, de las paradojas lógicas. Ahí fue que encontré como un pasaje de la matemática y la filosofía, de la matemática y la lógica. En Bahía Blanca había una Escuela de Lógica importante y me enteré de algo que se llamaba la lógica matemática. Borges decía que había personajes en las mil y una noches que se enamoraban de una mujer sólo por escuchar su nombre, bueno, a mí me pasó algo así con la lógica matemática, solamente de escuchar la idea que yo me hice, me pareció que era algo formidable, que debería ser algo muy interesante para hacer. Entonces me dediqué a estudiar esos temas, me fue realmente bien en esa área. Dentro de la matemática hay ramas muy diferentes con herramientas muy distintas, con intuiciones distintas, y creo que tenía cierta intuición mejor con respecto a esta rama de la lógica.

¿Probaste en otra área?
No, siempre me mantuve dentro del área de la lógica…

¿Guillermo, cuáles son tus matemáticos favoritos?
Es difícil porque no tengo como un panorama de toda la obra de un matemático. Me impresionó mucho un matemático que venía a la Argentina que se llama Daniel Mundici. Pero lo que me impresionó mucho fue, no solamente en su manera, su cultura matemática y profundidad, la manera de exponer las ideas. O sea que ese es un tipo de matemático que también me resulta interesante. Venía a dar seminarios y cursos. Se especializó en lo que se llama las M. V.-Álgebras. Pero sobre todo, me gustaba conversar con él, conversé varias veces, y me gustaba la manera en que se apropiaba de los temas e inmediatamente podía pensar a la par de lo que uno sugería e ir más allá y hacer las preguntas. Ese es el tipo de matemáticos que yo admiro.Muchos matemáticos tienen esa particularidad, pero bueno, a mí me tocó trabajar con él.Habría muchos, pero no puedo pensar en un matemático clásico porque no he seguido toda la trayectoria de ningún matemático clásico, salvo Gödel. Pero Gödel tiene unos pocos trabajos, no era un matemático tan completo.

¿Cuál va a ser tu teorema imposible de demostrar?
Tengo una especie de proyecto imposible. Por el tiempo que me llevaría pero que me hubiera gustado hacer, que es reproducir el tipo de reflexión que hace Ludwig Wittgenstein en las observaciones filosóficas en el área de la crítica literaria. Mas específicamente en la reflexión de qué es lo que hace que uno le guste ó no le guste un texto. En Wittgenstein hay una aproximación al problema del lenguaje y el conocimiento a través del lenguaje desde una posición aparentemente naif, y en principio es completamente naif, y solamente por los obstáculos lógicos que se van planteando a medida de que él trata de analizar de que manera se articula el lenguaje, de que manera lo aprende un niño, de que manera las palabras son realmente lo esencial del lenguaje, los conectivos, etc. A mí me gustaría llevarlo al plano de la crítica literaria. Y ahí creo que podría hacer un uso indirecto y extraño de algunos saberes lógicos.

¿Una biografía imperdible?
La de Philip Dick por Emmanuel Carrére (“Yo estoy vivo y ustedes están muertos. Philip Dick 1928-1982”, 2002), es un libro extraordinario. Además creo que en Philip Dick hay algo que tiene que ver con la ciencia ficción y a cualquier persona con un interés científico le va a parecer esa biografía extraordinaria.

¿Ajedrez o Go?
Al Go he jugado, pero la verdad jugué muy poquito en mi adolescencia, recuerdo haber aprendido un poco las reglas en un momento pero después me olvidé todo. Y recuperé algo del espíritu del Go con la novela El maestro de Go de Kawagata (Yasanari Kawagata, 1951) y de ahí saqué alguna idea para esta novela que terminé ahora.

¿Coleccionas algo?
No

¿..Nada?
(piensa) ...Sólo los libros que van apareciendo traducidos.

* Guillermo Martinez Autor de la novela policial Crímenes imperceptibles, con la que ganó el premio Planeta en 2003. Convertida en best seller fue traducida a mas de 30 idiomas. Sólo en Inglaterra, ciudad donde transcurre la historia se vendieron 100.000 libros. El director Alex de la Iglesia eligió para llevarla a la pantalla grande, la producción llevará por título los Crímenes de Oxford tal como fue el nombre del libro en España. Guillermo Martinez es doctor en Matemática y nació en Bahía Blanca.

Fotografía de Mariana Ruddock www.marianaruddock.com.ar

LA GRAMÁTICA DE LOS MUNDOS POSIBLES, COMO ENLACE ENTRE EL LENGUAJE NATURAL Y EL ARTIFICIAL

2009-05-11T22:00:00.002-03:00

3.- La gram{atica de los mundos posibles, como enlace entre el lenguaje natural y el artificial.
Prof. Gustavo Manzanal

El término ‘gramática’ significa, por lo menos, dos cosas bien distintas, casi antagónicas. Por un lado, refiere al dispositivo cerebral por el cual los seres humanos nos distinguimos —nótese que no lo estamos emparentando en este caso con el término ‘lenguaje’, pues es sabido que muchísimas especies (por no decir todas) cuentan con uno, capaz de conducirlas al establecimiento de relaciones funcionales con sus pares y su medio.

Hablamos de un dispositivo cerebral compuesto de estructuras vacías al nacer, de perfiles delimitadores, de microfibrillas conectivas que se presentan proclives a encauzar encadenamientos de alta complejidad; compuesto también de sectores (faces), cuya fuente energética los pone en combinación con la totalidad del dispositivo (niveles de interfaz), hasta llegar a desembocar en un acto voluntario, muscular y expresivo, primero elemental y luego cada vez más elaborado —ocasión en que las estructuras vacías mencionadas comienzan a llenarse por influencia del contexto de situación—; merced a ese acto se consigue iniciar y desarrollar el atractivo sendero de la comunicación y de algo todavía más irrefrenable y responsabilizante: la CONSTRUCCIÓN DE LA REALIDAD.

Así, el tal dispositivo biológico llamado GRAMÁTICA forja una idea del mundo y traslada su propia conformación a la organización de esa idea, por tanto, al mundo como EVENTO interpretable. Lo que nació siendo una fuerza espiratoria también abre los canales a la introspección y con ello destina al ser para comprender y entablarse con todo lo que lo rodea. Fuerza centrífuga y centrípeta a la vez, la gramática se adueña tanto del deseo como de lo deseado.Por otro lado, llámase ‘gramática’ al tratamiento que todas las culturas (al menos desde la hindú, hace veinticinco siglos, pues la de la lengua sagrada Sánscrito es la primera que se conoce) intentaron dar, no sobre el fenómeno que produce ‘lenguaje’ —en valores que incluyen a los recursos animales— sino en relación con aquel por el cual cada cultura tiene lo que se merece. Es decir, cada cultura miró hacia dentro mirando hacia fuera —recayendo en lo observable, que no es más que el dato frente al que uno ejerce cierto dominio, el dato sobre lo propio—; a lo largo de la historia son muy pocos los que miraron hacia fuera y dieron cuenta del afuera —lo que el ser humano está en condiciones de afrontar dada su condición—, ni miraron hacia dentro haciéndose cargo de ello —hablar, escribir, es mucho más que vérselas con unos sonidos o unos signos que bien podrían ser otros cualesquiera.Pero el tratamiento se intentó, no llegando a ser más que una mera descripción de los acontecimientos motores y físicos que provocan el lenguaje, y que terminan traducidos en líneas más o menos homogéneas cuyo conjunto deriva en los llamados ‘enunciados’; el objeto fue el más próximo, la propia Lengua. Para tal acometida se construyó ‘otro lenguaje’, el de la ciencia (si bien hay que admitir el escaso cientificismo de la mayoría de las aproximaciones efectuadas), y Gramática pasó a significar ‘Lenguaje Artificial para la descripción de las Lenguas Nacionales’ —o equivalentes (dialectos).

A ver, pasemos en limpio:• Lenguaje (capacidad desarrollable de las especies para comunicarse y crear su propio entorno).• Gramática ‘A’ (dispositivo cerebral que impulsa las particularidades de esa capacidad en los humanos).• Lengua (usufructo de tal capacidad por parte de cada cultura, con sus distintivas inscripciones y caracterizaciones).• Gramática ‘B’ (descripción de las lenguas particulares).Ahora bien, si el ‘lenguaje natural’ es la denominación que se otorga a aquellos sistemas simbólicos no creados adrede sino fruto de las condiciones genéticas en que se producen, por oposición a ‘lenguaje formal o artificial’, que es aquel constructo generado a partir de la necesidad de dar cuenta de determinado asunto, la Gramática es Lenguaje Natural en ‘A’ y Lenguaje Artificial en ‘B’, y en esta dualidad deja de referirse tanto al dispositivo como a la lengua de que se trate, con lo que se convierte en algo así como Gramática ‘C’, que apunta a ser el Núcleo Duro al que debe aspirar todo estudio serio sobre el lenguaje en general: estamos queriendo decir que remite a la ciencia abocada a tal estudio, la Lingüística. Con lo que:• Lenguaje …• Gramática ‘A’ …• Lengua …• Gramática ‘B’ …• Gramática ‘A’ + Gramática ‘B’ = Gramática ‘C’ (Lingüística)

Claro, si esa ciencia se ocupara sólo de ‘A’ sería más bien una rama de la Biología, una Psicología Genetista del lenguaje; si se ocupara sólo de ‘B’ (como se han confundido a menudo sus propósitos) sería la Lingüística del ‘español’, o del ‘francés’, o del ‘calchaquí’.Los que deben interesar son el fenómeno propulsor (el Estado Inicial) y su corporización concreta en alguna lengua, como Modelo de verificación (el Estado de Llegada). Lo que se encuentre en los embriones forjadores del Estado de Llegada, antes de convertirse en Léxico y Discurso, será tomado como Postulado de Universalidad (llevará a pensar que cualquier ser humano está destinado a que esos embriones germinen, sea futuro hablante del japonés o del congoleño).

La Morfosintaxis se presenta como el vehículo a través del cual su estudio confiará, aproximándose a una lengua en especial, en hacerlo a la naturaleza de todas las otras. Pues el desarrollo ‘artificial’ de lo ‘natural’ queda en manos de un programa de acciones sobre el fenómeno de la emisión que llegue a decir qué es en sus niveles de superficie y que puede llegar a ser en sus subyacencias. Y tal programa se vuelve factible en una sintaxis (o morfosintaxis, en tanto vínculo entre forma y utilidad, entre leyes de comprobación y partículas aprobatorias de esas leyes). Si bien el orden del mundo es cultural, y la cultura es singular y por lo mismo dueña de una lengua que estatuye entre otras cosas su pecularidad, la (morfo)sintaxis parece ser un abrevadero común para la instalación en las lenguas de cierto orden de consumación de sus elementos.

Más allá de las posiciones que les toque a los ítems respectivos, y de sus diferentes modos de enlace, la (morfo)sintaxis nos habla de enlaces y posiciones, razón suficiente para otorgarle primacía en su calidad de Postulado de Universalidad.Abordar cómo son esas posiciones y esos enlaces en el ‘español’ constituirá la toma de partido por las Posibilidades de Ocurrencia, en esa lengua, de los entramados generadores del lenguaje en el ser humano.Se trata entonces de intentar un sistema de acceso a la construcción del lenguaje, la cual se vuelve efectiva por vías de un dispositivo interno llamado Gramática.Tal sistema constituye una subteoría gramatical, consistente en principios y métodos de análisis. Su fundamento filosófico es que todo lo que sucede en el enunciado está destinado a suceder: se trata, pues, de MUNDOS POSIBLES –MP– contenidos en las unidades verificables como facultad realizada o no.Para consolidar la subteoría es preciso confeccionar una Metateoría capaz de explicar cómo se han alcanzado las soluciones propuestas, y que a la vez esté en condiciones de aceptar contraejemplos y confrontación con otras teorías.Epistemológicamente, la Gramática es en sí inalcanzable, pues se trata de una propiedad genética cerebral/mental, y por lo tanto el gramático debe ser consciente de que trabaja con un instrumento de aproximación a esa propiedad, el cual por generalidad de aspectos, como vimos, se conoce con el nombre de Morfosintaxis. Su desenvolvimiento en el marco social, o sus distorsiones orgánicas y conductas especiales, las especulaciones en torno de sus valores y desencadenantes en la vida personal, sus registros zonales o históricos, y demás concomitancias, deben caer bajo el dominio de disciplinas anexas que se ocupan del lenguaje de manera periférica: la Sociolingüística, la Neuro y Psicolingüística, la Filolingüística, la Geografía Lingüística y Etnolingüística, en fin, la Antropología y las ‘Ciencias del hombre’ con arreglo hacia un estrechamiento de lazos con las Ciencias llamadas ‘naturales’ (como hemos tratado de decir en esta breve exposición), al modo del generativismo en Lingüística, operando prácticamente con fórmulas matemáticas para la reconstrucción de las propiedades gramaticales innatas.

HYPATIA DE ALEJANDRIA, LA FILÓSOFA. LA PRIMERA MUJER MATEMATICA DE LA HISTORIA

2009-05-11T21:55:00.003-03:00

2.- Hypatia de Alejandría, la filósofa. La primera mujer matemática de la historia

Prof. Carlos Trapani

“Defiende tu derecho a pensar…porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.
Hypatia de Alejandría.

En Alejandría, durante los seiscientos años que se iniciaron hacia el 300 a.n.e., comenzó una aventura intelectual que ha llevado más allá de los límites del espacio físico conocido antes y de las ideas heredadas hasta entonces. Pero no queda nada del paisaje y de las sensaciones de aquella gloriosa ciudad de mármol. La opresión y el miedo al saber han arrasado casi todos los recuerdos de la antigua Alejandría[2]. Su población tenía una maravillosa diversidad. Soldados macedonios y más tarde romanos, sacerdotes egipcios, aristócratas griegos, marineros fenicios, mercaderes judíos, visitantes de la India y del África subsahariana. Todos ellos -excepto la vasta población de esclavos- vivían juntos en armonía y respeto mutuo durante la mayor parte del período que marca la grandeza de Alejandría.La ciudad fue fundada por Alejandro Magno y construida por su antigua guardia personal. Alejandro estimuló el respeto por las culturas diversas y una búsqueda sin prejuicios del conocimiento. Animó a sus generales y soldados a que se casaran con mujeres persas e indias. Respetaba los dioses de todas las culturas. Coleccionó formas de vida exóticas, entre ellas un elefante destinado a su maestro Aristóteles. Su ciudad estaba construida a una escala suntuosa, porque tenía que ser el centro mundial del comercio, de la cultura y del saber. Estaba adornada con amplias avenidas de treinta metros de ancho, con una arquitectura y una estatuaria elegante, con la tumba monumental de Alejandro y con un enorme faro, en la Isla de Faros, una de las siete maravillas del mundo antiguo.Pero la maravilla mayor de Alejandría era su Biblioteca y su correspondiente Museo (en sentido literal, una institución pública -Estatal- dedicada al cultivo de las Ciencias y las Artes de las Nueve Musas). De esta biblioteca legendaria, lo máximo que sobrevivió fue un sótano húmedo y olvidado del Serapeo anexo de la biblioteca, que originariamente fue un templo consagrado a honrar al conocimiento.Sin embargo, Alejandría fue en su época la mayor Ciudad del planeta, sede del primer auténtico Instituto de Enseñanza e Investigación Científica en la Historia (del tipo de los que hoy llamamos `Universidad´). Los eruditos de la biblioteca estudiaban el Cosmos. Cosmos es una palabra griega que significa “el orden del universo”. Es en cierto modo lo opuesto a Caos. Presupone el carácter profundamente interrelacionado de todas las cosas. Inspira admiración ante la intrincada y sutil configuración del universo. Había en la biblioteca una comunidad de eruditos que exploraban la física, la literatura, la medicina, la astronomía, la geografía, la filosofía, las matemáticas, la biología y la ingeniería. La ciencia y la erudición habían llegado a echar raíces. El pensamiento florecía en aquellas salas. La Biblioteca de Alejandría es el lugar donde los hombres reunieron por primera vez -y de modo fundamentado y sistemático- el conocimiento del mundo.

Hypatia fue la primera mujer que hizo contribuciones sustanciales al desarrollo de la matemática. Nació alrededor de 370 (¿?) en Alejandría. Su padre fue un prominente matemático y astrónomo llamado Teón, quien supervisó la formación de la hija y la educó en un ambiente de pensamiento, decidido a que se convirtiera en 'un ser humano perfecto', en una época en que se solía considerar que las mujeres eran menos que humanas, y desarrolló para ella una preparación física e intelectual intensa a fin de asegurarle un cuerpo saludable y una mente muy lúcida. Teón instruyó a la hija en el conocimiento de las diferentes religiones del mundo y le enseñó las filosofías de los Clásicos Griegos, el dominio de la lógica y la oratoria, así como los principios del aprendizaje y el arte de la enseñanza, lo cual motivó que personas de otras ciudades vinieran a estudiar con ella.Luego, Hypatia viajó a Grecia y a Italia, y todos los que la trataron quedaron impresionados por su inteligencia y su belleza. Al volver a Alejandría, se dedicó a la enseñanza de la Matemática y la Filosofía. Enseñaba a miembros de todas las religiones, y fue titular de una cátedra pública de Filosofía. Según el enciclopedista bizantino Suidas, 'fue oficialmente nombrada para explicar las doctrinas de Platón y Aristóteles'. Los estudiantes iban a Alejandría para asistir a las clases de Hypatia sobre Matemática, Astronomía, Filosofía y Mecánica.

La mayoría de los escritos de Hypatia fueron libros de texto para sus estudiantes. Ninguno ha permanecido intacto, pero diversos fragmentos de su obra están incorporados en los tratados existentes de Teón, con quien compartía la escritura.Hay alguna información sobre sus talentos -filosofía, astronomía y matemática- en las cartas de su dilecto alumno y discípulo Sinesio de Cirene, cristiano rico y poderoso, obispo de la ciudad Ptolemaica. No hay evidencia de que Hypatia haya hecho investigación original en matemáticas. Sin embargo, asistió a su padre, Teón, al escribir con él los once volúmenes de su “Comentario al Almagest” célebre obra astronómica de Ptolomeo.

También compartió con él la producción de una nueva versión de los “Elementos de Euclides” que se ha convertido en la base para todas las ediciones posteriores. Heath[3] escribe sobre la edición de Teón e Hypatia de los Elementos que: “... aunque hacen solamente adiciones poco importantes al contenido de los 'Elementos', se esforzaron por eliminar las dificultades que podrían encontrar los estudiantes en el libro, como haría un profesor moderno al revisar un libro de texto clásico para ser usado en las escuelas; y no hay duda alguna de que su edición fue aprobada por sus alumnos en Alejandría, para quienes fue escrita, así como por generaciones de griegos que lo usaron ampliamente ...”

Además del trabajo en conjunto con su padre, Suidas nos informa que Hypatia escribió en forma autónoma “Comentarios sobre la Arithmetica de Diofanto” y “Comentarios sobre las Cónicas de Apolonio” 2. Algunos epistemólogos recientes y contemporáneos consideran que el trabajo matemático más importante de Hypatia es su “Comentario sobre la Aritmética de Diofanto”, en 13 tomos. Diofanto vivió y trabajó en Alejandría en el siglo III y fue considerado el 'Padre del Álgebra'. Desarrolló soluciones para las ecuaciones indeterminadas, es decir, ecuaciones con soluciones múltiples. También trabajó con ecuaciones cuadráticas. Los “Comentarios” de Hypatia incluían soluciones alternativas y trataban sobre muchos problemas nuevos, que luego fueron incorporados a las sucesivas ediciones de los “Comentarios sobre la Aritmética” de Diofanto y a los “Comentarios sobre las Cónicas” [4] de Apolonio.

También dictaba clases de filosofía, enseñando de modo especial la Filosofía Neoplatónica[5]. Hypatia basaba sus teorías en las de Plotino, el fundador del Neoplatonismo, y de Iámblico, uno de los pensadores más amplios de esa vertiente, alrededor del año 300. Hypatia enseñó estas ideas filosóficas con un énfasis científico mayor que los seguidores anteriores del Neoplatonismo. Todos los comentaristas la describen como una maestra carismática.

Además de la Filosofía y la Matemática, a Hypatia le interesaron la Mecánica y la Tecnología. En las cartas a Sinesio están incluidos sus diseños para varios instrumentos científicos, incluyendo un astrolabio plano. Hypatia también desarrolló un aparato para la destilación del agua, un hidrómetro graduado de latón para medir el nivel del agua y un densímetro, instrumento para determinar la densidad específica de los líquidos.Hypatia llegó a sintetizar filosofía y ciencia en sus prácticas de enseñanza, lo que los primeros cristianos identificaban con paganismo. Sin embargo, entre los alumnos a los que enseñó había muchos cristianos importantes. Uno de ellos, ya mencionado, es Sinesio de Cirene, quien después sería obispo de Termópolis, alejado de Alejandría. Se conservan muchas de las cartas que Sinesio escribió a Hypatia y vemos en ellas a alguien que estaba lleno de admiración y respeto por las habilidades científicas y didácticas de Hypatia.

En el 412, Cirilo se convirtió en patriarca (Arzobispo) de Alejandría. Sin embargo, el prefecto romano (Gobernador) de Alejandría era Orestes y ambos se convirtieron en acérrimos rivales en la eterna lucha por el poder político y el control social entre la Iglesia y el Estado. Hypatia era amiga y asesora de Orestes y esto, junto con los prejuicios contra sus posiciones filosóficas laicas, consideradas paganas por los cristianos, hicieron que Hypatia se convirtiera en el punto central de las luchas entre cristianos y no-cristianos. Hypatia, escribe Heath[6]: “... por su elocuencia y autoridad (...) logró una influencia tal que la cristiandad se sintió amenazada...”

La Alejandría de la época de Hypatia -bajo dominio romano desde hacía ya tiempo- era una ciudad que sufría graves tensiones. La esclavitud había agotado la vitalidad de la sociedad antigua. La naciente Iglesia Cristiana estaba consolidando su poder e intentando “extirpar” la influencia de la cultura pagana (politeísta, en especial, griega). Hypatia quedó en el epicentro de estas poderosas fuerzas sociales. Cirilo, el arzobispo de Alejandría, la despreciaba por la estrecha amistad que ella mantenía con Orestes, gobernador romano y ex alumno de Hypatia, porque era un símbolo de la cultura clásica y la ciencia pluralistas, que la primitiva Iglesia calificaba de herejía. A pesar del grave riesgo personal que ello suponía, continuó enseñando y publicando, hasta que “en marzo del año 415, cuando iba a trabajar, cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo. La arrancaron del carruaje, rompieron sus vestidos, la arrastraron atada al carruaje hasta la iglesia de Cesárea y, armados con conchas marinas, la despedazaron arrancándole la carne de los huesos y los pedazos de su cuerpo fueron quemados hasta reducirlos a cenizas. Sus restos fueron “eliminados”, sus obras destruidas, su nombre (… casi [7]) olvidado. Luego, Cirilo fue canonizado y proclamado Santo”.[8]La intolerancia fanática de todo dogmatismo no aceptó -ni aceptará jamás- a una mujer que pensara por sí misma, un ser independiente que no creía en dogmas ni aceptaba imposiciones jerárquicas; que creía en la capacidad de la humanidad para pensar y poder comprender y transformar el mundo que la rodea.La opresión y la desconfianza al saber, propias de los autoritarios, han avasallado (…casi [9]) todos los entrañables recuerdos de Hypatia y del esplendor de la Antigua Alejandría.

Prof. Carlos Trapani

Esta reseña biográfica, toma referencias bibliográficas de:

1.- Cervantes, Erika: “HYPATIA DE ALEJANDRIA, LA PRIMERA MUJER MATEMATICA DE LA HISTORIA (CIMAC)* (15/11/2004)
* Cervantes, Erika; Reportera de Agencia Comunicación e Información de la Mujer (CIMAC), México.

2.- Sagan, Carl: “COSMOS”.

3.- Heath, T. L.: “A History of Greek Mathematics”, (2 Vols.). Oxford, (1921).

4.- Llamadas así porque pueden obtenerse cortando un cono en diferentes ángulos. Dieciocho siglos mas tarde Johannes Kepler utilizaría la versión de Teón e Hypatia de los escritos de Apolonio sobre las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) para comprender por primera vez el movimiento de los planetas.

5.- Biografía de Hypatia; en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).

6.- Heath, T. L.: “A History of Greek Mathematics”, (2 Vols.). Oxford, (1921).

7.- El paréntesis es del autor

8.- Sagan, Carl: “COSMOS”.

9.- El paréntesis es del autor

EDITORIAL

2009-05-11T21:54:00.001-03:00

1.- HYPATIA, la filósofa: EDITORIAL

Esta nota editorial, como todas, está circunstanciada. Este proyecto colectivo busca la luz en los primeros días de Junio de 2007, en la Ciudad de Buenos Aires, por la iniciativa y labor autónoma de profesores y futuros profesores del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”. Estas son nuestras circunstancias. Y las circunstancias connotan las acciones desde el contexto…Pero ¿cuáles son las connotaciones provenientes de nuestro contexto? Una de ellas, la reciente elección de autoridades y legisladores para la Ciudad. Ante ella, los medios masivos de comunicación instalaron como posibles opciones sólo tres candidaturas, cuyas semejanzas son tan evidentes que la búsqueda de diferencias carecería de significado práctico. Habría que utilizar una lupa para encontrar matices diferenciales en los grados de responsabilidad o complicidad con el proceso de devastación de la educación pública intensificada desde la época de los ´90, y que aún perdura y predomina. La “elección” se limitó entonces, a optar por cuál de los tres “candidatos” va a continuarla.Hay que reconocer, sin embargo, que la imposición mediática de esta triple alianza fue facilitada por la ausencia o debilidad de proyectos políticos -sociales y educativos- distintos al actual y con capacidad de superarlo.Circunstancias que, como en la Alejandría de los tiempos de Hypatia, a los educadores y amantes de la sabiduría nos comprometen en la tarea de volver a pensar y expresar una opción ética en la que habremos de contribuir a la formación cultural que legamos a las generaciones que vienen.Tal vez, como en vida de Hypatia, queden todavía –aunque des-cuidados– trabajadores intelectuales valiosos y espacios públicos accesibles para todos, para aprender, enseñar y producir conocimientos. Sabemos que hubo y hay educadores que ennoblecen nuestra profesión, no resignándose ante la fuerte tendencia a la destrucción de lo público. Vaya a ellos, con este proyecto, nuestro sincero reconocimiento y gratitud.Pero no es suficiente, si se trata de compartir el camino de realización de sueños igualitarios. Para que la Educación Pública sobreviva y avance, los educadores y futuros educadores tendremos que sostener otra actitud política. Antes que -como en el desenlace de la vida de Hypatia- la política imperante logre acertar… y dar con el próximo techo en nuestras cabezas.

ÍNDICE

2009-05-11T21:51:00.003-03:00

Hypatia, la Filósofa. Año I, Nro 1. Septiembre de 2007

Hypatia, la FilósofaUna Revista de Profesores y Futuros Profesores,del CAIE del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”.

ÍNDICE
1. NOTA EDITORIAL (Equipo de Redacción)
2. Historias: HYPATIA, la FILÓSOFA, RESEÑA BIOGRÁFICA. (Carlos Trapani)
3. Letras: LA GRAMÁTICA DE LOS MUNDOS POSIBLES (Gustavo Manzanal)
4. Entrevistas: GUILLERMO MARTÍNEZ (Liber Aparisi)
5. Ciencias: INTUICIÓN Y VERDAD (Gustavo Piñeiro)

hypatia.lafilosofa@gmail.com

Coordinador del Caie del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”: Carlos Trapani
Equipo de Redacción:
Liber Aparisi
Gustavo Manzanal
Gustavo Piñeiro
Pablo Federico Rodríguez
Carlos Trapani

TAPA

2009-05-11T21:49:00.003-03:00

Hypatia Nº 1

2008-07-29T15:39:00.006-03:00

Desde este enlace puede descargarse, completo, el número 1 de la revista Hypatia, la filósofa. (Archivo zip, 1,4 MB.)

HYPATIA vive en DIDACTIA, un Lugar de Educadores

2008-02-26T14:03:00.005-02:00

Visite Didactia: CAIE-del-IES-2-Mariano-Acosta.blogspot.com

HYPATIA DE ALEJANDRIA, LA FILÓSOFA. La Primera Mujer Matemática de la Historia [1] Prof. Carlos Trapani

2008-01-19T16:00:00.014-02:00

“Defiende tu derecho a pensar… porque incluso
pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.
Hypatia de Alejandría.

En Alejandría, durante los seiscientos años que se iniciaron hacia el 300 a.n.e., comenzó una aventura intelectual que ha llevado más allá de los límites del espacio físico conocido antes y de las ideas heredadas hasta entonces. Pero no queda nada del paisaje y de las sensaciones de aquella gloriosa ciudad de mármol. La opresión y el miedo al saber han arrasado casi todos los recuerdos de la antigua Alejandría[2]. Su población tenía una maravillosa diversidad. Soldados macedonios y más tarde romanos, sacerdotes egipcios, aristócratas griegos, marineros fenicios, mercaderes judíos, visitantes de la India y del África subsahariana. Todos ellos -excepto la vasta población de esclavos- vivían juntos en armonía y respeto mutuo durante la mayor parte del período que marca la grandeza de Alejandría.
La ciudad fue fundada por Alejandro Magno y construida por su antigua guardia personal. Alejandro estimuló el respeto por las culturas diversas y una búsqueda sin prejuicios del conocimiento. Animó a sus generales y soldados a que se casaran con mujeres persas e indias. Respetaba los dioses de todas las culturas. Coleccionó formas de vida exóticas, entre ellas un elefante destinado a su maestro Aristóteles. Su ciudad estaba construida a una escala suntuosa, porque tenía que ser el centro mundial del comercio, de la cultura y del saber. Estaba adornada con amplias avenidas de treinta metros de ancho, con una arquitectura y una estatuaria elegante, con la tumba monumental de Alejandro y con un enorme faro, en la Isla de Faros, una de las siete maravillas del mundo antiguo. Pero la maravilla mayor de Alejandría era su Biblioteca y su correspondiente Museo (en sentido literal, una institución pública -Estatal- dedicada al cultivo de las Ciencias y las Artes de las Nueve Musas). De esta biblioteca legendaria, lo máximo que sobrevivió fue un sótano húmedo y olvidado del Serapeo anexo de la biblioteca, que originariamente fue un templo consagrado a honrar al conocimiento. Sin embargo, Alejandría fue en su época la mayor Ciudad del planeta, sede del primer auténtico Instituto de Enseñanza e Investigación Científica en la Historia (del tipo de los que hoy llamamos `Universidad´).
Los eruditos de la biblioteca estudiaban el Cosmos. Cosmos es una palabra griega que significa “el orden del universo”. Es en cierto modo lo opuesto a Caos. Presupone el carácter profundamente interrelacionado de todas las cosas. Inspira admiración ante la intrincada y sutil configuración del universo. Había en la biblioteca una comunidad de eruditos que exploraban la física, la literatura, la medicina, la astronomía, la geografía, la filosofía, las matemáticas, la biología y la ingeniería. La ciencia y la erudición habían llegado a echar raíces. El pensamiento florecía en aquellas salas. La Biblioteca de Alejandría es el lugar donde los hombres reunieron por primera vez -y de modo fundamentado y sistemático- el conocimiento del mundo.
Hypatia fue la primera mujer que hizo contribuciones sustanciales al desarrollo de la matemática. Nació alrededor de 370 (¿?) en Alejandría. Su padre fue un prominente matemático y astrónomo llamado Teón, quien supervisó la formación de la hija y la educó en un ambiente de pensamiento, decidido a que se convirtiera en 'un ser humano perfecto', en una época en que se solía considerar que las mujeres eran menos que humanas, y desarrolló para ella una preparación física e intelectual intensa a fin de asegurarle un cuerpo saludable y una mente muy lúcida. Teón instruyó a la hija en el conocimiento de las diferentes religiones del mundo y le enseñó las filosofías de los Clásicos Griegos, el dominio de la lógica y la oratoria, así como los principios del aprendizaje y el arte de la enseñanza, lo cual motivó que personas de otras ciudades vinieran a estudiar con ella. Luego, Hypatia viajó a Grecia y a Italia, y todos los que la trataron quedaron impresionados por su inteligencia y su belleza. Al volver a Alejandría, se dedicó a la enseñanza de la Matemática y la Filosofía. Enseñaba a miembros de todas las religiones, y fue titular de una cátedra pública de Filosofía. Según el enciclopedista bizantino Suidas, 'fue oficialmente nombrada para explicar las doctrinas de Platón y Aristóteles'. Los estudiantes iban a Alejandría para asistir a las clases de Hypatia sobre Matemática, Astronomía, Filosofía y Mecánica. La mayoría de los escritos de Hypatia fueron libros de texto para sus estudiantes. Ninguno ha permanecido intacto, pero diversos fragmentos de su obra están incorporados en los tratados existentes de Teón, con quien compartía la escritura.
Hay alguna información sobre sus talentos -filosofía, astronomía y matemática- en las cartas de su dilecto alumno y discípulo Sinesio de Cirene, cristiano rico y poderoso, obispo de la ciudad Ptolemaica. No hay evidencia de que Hypatia haya hecho investigación original en matemáticas. Sin embargo, asistió a su padre, Teón, al escribir con él los once volúmenes de su “Comentario al Almagest” célebre obra astronómica de Ptolomeo. También compartió con él la producción de una nueva versión de los “Elementos de Euclides” que se ha convertido en la base para todas las ediciones posteriores. Heath[3] escribe sobre la edición de Teón e Hypatia de los Elementos que: “... aunque hacen solamente adiciones poco importantes al contenido de los 'Elementos', se esforzaron por eliminar las dificultades que podrían encontrar los estudiantes en el libro, como haría un profesor moderno al revisar un libro de texto clásico para ser usado en las escuelas; y no hay duda alguna de que su edición fue aprobada por sus alumnos en Alejandría, para quienes fue escrita, así como por generaciones de griegos que lo usaron ampliamente ...”
Además del trabajo en conjunto con su padre, Suidas nos informa que Hypatia escribió en forma autónoma “Comentarios sobre la Arithmetica de Diofanto” y “Comentarios sobre las Cónicas de Apolonio” 2. Algunos epistemólogos recientes y contemporáneos consideran que el trabajo matemático más importante de Hypatia es su “Comentario sobre la Aritmética de Diofanto”, en 13 tomos. Diofanto vivió y trabajó en Alejandría en el siglo III y fue considerado el 'Padre del Álgebra'. Desarrolló soluciones para las ecuaciones indeterminadas, es decir, ecuaciones con soluciones múltiples. También trabajó con ecuaciones cuadráticas. Los “Comentarios” de Hypatia incluían soluciones alternativas y trataban sobre muchos problemas nuevos, que luego fueron incorporados a las sucesivas ediciones de los “Comentarios sobre la Aritmética” de Diofanto y a los “Comentarios sobre las Cónicas” [4] de Apolonio. También dictaba clases de filosofía, enseñando de modo especial la Filosofía Neoplatónica[5].
Hypatia basaba sus teorías en las de Plotino, el fundador del Neoplatonismo, y de Iámblico, uno de los pensadores más amplios de esa vertiente, alrededor del año 300. Hypatia enseñó estas ideas filosóficas con un énfasis científico mayor que los seguidores anteriores del Neoplatonismo. Todos los comentaristas la describen como una maestra carismática. Además de la Filosofía y la Matemática, a Hypatia le interesaron la Mecánica y la Tecnología. En las cartas a Sinesio están incluidos sus diseños para varios instrumentos científicos, incluyendo un astrolabio plano. Hypatia también desarrolló un aparato para la destilación del agua, un hidrómetro graduado de latón para medir el nivel del agua y un densímetro, instrumento para determinar la densidad específica de los líquidos. Hypatia llegó a sintetizar filosofía y ciencia en sus prácticas de enseñanza, lo que los primeros cristianos identificaban con paganismo. Sin embargo, entre los alumnos a los que enseñó había muchos cristianos importantes. Uno de ellos, ya mencionado, es Sinesio de Cirene, quien después sería obispo de Termópolis, alejado de Alejandría. Se conservan muchas de las cartas que Sinesio escribió a Hypatia y vemos en ellas a alguien que estaba lleno de admiración y respeto por las habilidades científicas y didácticas de Hypatia.
En el 412, Cirilo se convirtió en patriarca (Arzobispo) de Alejandría. Sin embargo, el prefecto romano (Gobernador) de Alejandría era Orestes y ambos se convirtieron en acérrimos rivales en la eterna lucha por el poder político y el control social entre la Iglesia y el Estado. Hypatia era amiga y asesora de Orestes y esto, junto con los prejuicios contra sus posiciones filosóficas laicas, consideradas paganas por los cristianos, hicieron que Hypatia se convirtiera en el punto central de las luchas entre cristianos y no-cristianos. Hypatia, escribe Heath[6]: “... por su elocuencia y autoridad (...) logró una influencia tal que la cristiandad se sintió amenazada...” La Alejandría de la época de Hypatia -bajo dominio romano desde hacía ya tiempo- era una ciudad que sufría graves tensiones. La esclavitud había agotado la vitalidad de la sociedad antigua. La naciente Iglesia Cristiana estaba consolidando su poder e intentando “extirpar” la influencia de la cultura pagana (politeísta, en especial, griega).
Hypatia quedó en el epicentro de estas poderosas fuerzas sociales. Cirilo, el arzobispo de Alejandría, la despreciaba por la estrecha amistad que ella mantenía con Orestes, gobernador romano y ex alumno de Hypatia, porque era un símbolo de la cultura clásica y la ciencia pluralistas, que la primitiva Iglesia calificaba de herejía. A pesar del grave riesgo personal que ello suponía, continuó enseñando y publicando, hasta que “en marzo del año 415, cuando iba a trabajar, cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo. La arrancaron del carruaje, rompieron sus vestidos, la arrastraron atada al carruaje hasta la iglesia de Cesárea y, armados con conchas marinas, la despedazaron arrancándole la carne de los huesos y los pedazos de su cuerpo fueron quemados hasta reducirlos a cenizas. Sus restos fueron “eliminados”, sus obras destruidas, su nombre (… casi [7]) olvidado. Luego, Cirilo fue canonizado y proclamado Santo”.[8] La intolerancia fanática de todo dogmatismo no aceptó -ni aceptará jamás- a una mujer que pensara por sí misma, un ser independiente que no creía en dogmas ni aceptaba imposiciones jerárquicas; que creía en la capacidad de la humanidad para pensar y poder comprender y transformar el mundo que la rodea. La opresión y la desconfianza al saber, propias de los autoritarios, han avasallado (…casi [9]) todos los entrañables recuerdos de Hypatia y del esplendor de la Antigua Alejandría.

Hypatia, la Filósofa. Año I, Nro 2

2008-01-04T02:41:00.001-02:00

Hypatia, la Filósofa
Año I, Nro. 2
Noviembre de 2007

ÍNDICE

1. HYPATIA EDITORIALIZA:
(Equipo de Redacción)

2. IDEAS Y LETRAS:
Jacques Derrida: la escritura, núcleo fundamental del lenguaje
(Ester Tuchsznaider)

3. HISTORIAS DEL PENSAMIENTO:
De Filolao, Eudoxo… y las esferas celestes
(Antonio Castellano)

4. PRÁCTICAS EN CONTEXTO:
Una visión contemporánea de la tarea educativa
(Pablo F. Rodríguez)

5. DEBATES EDUCATIVOS:
Pero cómo, ¿ Giuseppe Verdi … no fabrica galletitas ?
(Horacio Rinaldi)

6. CURIOSIDADES:
GO!
(Liber Aparisi)

7. CIENCIAS Y ENSEÑANZAS:
¿Qué hacemos con el Cero?
(Ariel Puntano)

Hypatia, la Filósofa
Una Revista de Profesores y Futuros Profesores,
del Centro de Actualización e Innovación Educativa -CAIE-
del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”.
Año I, Nº 2.
Noviembre de 2007.-

Coordinador del CAIE del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”:
Carlos Trapani

Equipo de Redacción:
Liber Aparisi
Gustavo Manzanal
Gustavo Piñeiro
Pablo Federico Rodríguez
Carlos Trapani

Carteate con Hypatia: hypatia.lafilosofa@gmail.com

1. HYPATIA EDITORIALIZA:

En la Ciudad y en el País, hemos elegido autoridades de gobierno y representantes a órganos legislativos. Pero… ¿hemos superado la crisis?
A nivel nacional, el Lic. Daniel Filmus pasa a ser senador, pero la UNESCO y el BID siguen siendo el “FONDO” del escenario educativo y -sin despeinarse- el Dr. Juan Carlos Tedesco, su principal activista en el Estado Nacional, seguirá siendo el guionista y actor protagónico del Drama Educativo que bien podría llamarse: “La devastación de lo público”… ¿Será a esto que se refieren con el concepto de “Continuidad en el cambio”?
Es que a su cuenta ha de cargarse la LEY de EDUCACIÓN NACIONAL, envoltura discursiva progresista para envolver y perpetuar el “presente griego” que nos legaran la dictadura y el menemismo en los ´90: La fragmentación neoliberal y el abandono estatal del sistema educativo nacional. Suma a esa cuenta, la creación del Consejo Federal para la Formación Docente, órgano para delinear las políticas para la formación docente, en la que no ha sido prevista ni permitida la creación de ninguna representación para los formadores de docentes !!! Agrega a la cuenta, la creación del INFoD (Instituto Nacional de Formación Docente) para implementar las políticas del Consejo. En el INFoD lograron “conchabarse” muchos -muchísimos- Licenciados en Ciencias de la Educación y otros “gogos”, muchos de los cuales nunca dieron clase en una Escuela, pero eso sí: casi todos son… íntimos amigos de los funcionarios en el Poder. Todo muy en silencio… ¿hemos superado la crisis?
En la Ciudad, hemos de reconocer que la Directora General de Educación Superior, Lic. Andrea. Allaud, mas allá de algunas improvisaciones en la gestión de las crisis edilicias, ha tomado algunas iniciativas académicas interesantes: ha auspiciado proyectos, ha iniciado nuevas carreras, etc. Pero, desde allí para arriba, incluida la Ministra Ana Clement… hace rato que se fueron !!! Mientras que “los entrantes”… todavía no llegaron. Nadie gobierna. ¿Continuidad en el cambio?
En el IES Nº 2 “Mariano Acosta”, entre tanto, estamos volviendo (perdón, pero a la situación le corresponde el gerundio, un gerundio que tiende a perpetuarse). Estamos volviendo -muy de a poco y en condiciones de uso muy precarias- a nuestro viejo y nunca totalmente remozado edificio histórico, sin más que algunas aulas… mucho -muchísimo- cansancio y ninguna resignación. Nuestro preciado legado cultural y algunos signos incipientes de revitalización de proyectos compartidos nos animan a retomar la iniciativa e intentar formar-nos con creatividad, sosteniendo el compromiso ético. Una manifestación de esto es la ampliación del espacio expresivo de Hypatia, otra -más valiosa- es la enriquecida calidad de las producciones de los autores que contribuyen con la revista. Desde aquí, un sentido agradecimiento a todos ellos… y una invitación a los que vendrán. Además, un guiño al pujante trabajo del “Grupo de Teatro” y a la esmerada tarea de “Esas perras negras”… ¿Cambio en la continuidad?
Durante la “diáspora” del IES 2, también hemos elegido autoridades de gobierno y representantes a órganos resolutivos, pero… aún así ¿hemos superado la crisis?

2. JACQUES DERRIDA: LA ESCRITURA, NÚCLEO FUNDAMENTAL DEL LENGUAJE.
Prof. Ester Tuchsznaider

El concepto de la escritura como técnica al servicio del lenguaje y la exaltación del habla como núcleo originario y genuino del lenguaje corresponden a un largo y necesario momento del desarrollo del pensamiento, en el cual éste logró ocultar que el lenguaje no es sino una especie de la escritura. Ese período, que se ha extendido por tres mil años, coincide con el de la metafísica logocéntrica.
Un concepto más amplio de escritura inaugura la destrucción, la de-construcción, de todas las significaciones atadas a la de logos; en primer lugar, la de verdad. Esto es, de la idea de que entre el alma y el ser como presencia se da una traducción o significación natural; de la creencia en que el pensamiento se expresa directa y primariamente en la voz y de que las convenciones primeras son lenguaje hablado, lo que haría de la escritura un sistema de convenciones que fijan otras convenciones.
Así, la época del logos rebaja la escritura, pensada como mediación de mediación y caída en la exterioridad del sentido. A esta época pertenecería la diferencia entre significado y significante o, al menos, la extraña distancia de su ‘paralelismo’ y la exterioridad, por reducida que sea, del uno al otro.[1]
En efecto, la distinción significante-significado no es más que la transposición al plano lingüístico de la dualidad sensible-inteligible, materia-forma, trascendental-empírico, realidad-idealidad, categorías heredadas de la tradición metafísica occidental. Es esa metafísica la que ha de ser revisada, de-construida, para intentar un entendimiento genuino de la naturaleza del signo lingüístico y de cuál es el lugar de la escritura. Esa misma metafísica, con sus oposiciones, opera, en forma de supuesto, en el campo que los lingüistas y semiólogos creen propiamente científico. Esa metafísica, y el concepto de escritura como suplemento que ella propicia, están llegando a su fin. De ahí la ampliación actual de la comprensión del concepto de escritura: al entender la escritura fonética como máximo logro en relación con otros sistemas, culminación del desarrollo de registros más o menos imperfectos del logos, se produjo un angostamiento del campo y se propició, al mismo tiempo, una desestimación de la escritura. La diferencia entre significante y significado, cuyas raíces es posible hallar entre los estoicos, no puede ser sostenida por las ciencias del lenguaje sin aceptar, al tiempo, toda la metafísica con la que ella es coherente. “La cara inteligible del signo permanece dada vuelta hacia el lado del verbo y de la cara de Dios.”[2]
Según Derrida, hay una solidaridad sistemática entre las nociones de divinidad y de signo: “El signo y la divinidad tienen el mismo lugar y el mismo momento de nacimiento.” El concepto de signo pertenece a la filosofía y está determinado por su historia. A la idea de signo le es inherente la de exterioridad del significante, porque a éste le precede un sentido constituido por el logos. El significado tiene una relación inmediata con el logos en general, y mediata con el significante.
Esa tradición opone una escritura divina, inteligible, natural y universal, a la inscripción humana, artificiosa, laboriosa, sensible y finita. Interpreta el mundo todo como una escritura: la naturaleza es un libro escrito en caracteres matemáticos. Ese libro es la totalidad del significante, posible por la preexistencia de la totalidad del significado. La escritura natural, unida a la voz interior que es “presencia plena y veraz del habla divina”, es ley natural inscripta en el alma. “La exterioridad del significante es la exterioridad de la escritura en general y, más adelante, trataremos de mostrar que no hay signo lingüístico antes de la escritura. Sin esta exterioridad la idea de signo cae en ruinas.”[3]
Para la época a la que este concepto pertenece, la lectura y la escritura, la producción y la interpretación de los signos, el texto en general, son secundarios. Una verdad ya constituida los precede. El significado está en una relación inmediata con un logos finito o infinito, y sólo tiene una relación mediata con el significante. De ahí la exterioridad de la escritura.
La Lingüística, modelo para las ciencias humanas, se ha dotado de cientificidad por su fundamento fonológico. Pero, como ciencia positiva, reposa en supuestos metafísicos, que no son otros que los de esa metafísica del logos. Así se explica que su objeto sea entendido como unidad inmediata y privilegiada que funda la significancia y el acto del lenguaje: la unidad del sonido y el sentido en la fonía. Frente a ella, la escritura es derivada. Si una Gramatología se constituyese, le debería estar subordinada. Y allí se deja ver la contradicción en la que la Lingüística está atrapada. En efecto, la subordinación de la Gramatología sólo se justifica si la escritura es mera representación del habla, lo cual sólo vale para un tipo de escritura, la fonética, la que, no sólo es la propia sino la que en esta tradición metafísica se exalta como sistema más perfecto de escritura, meta a la que se encaminaron todos los otros intentos históricos de desarrollo de sistemas de escritura. Y aún más: ni siquiera se está tomando como modelo la escritura fonética tal como de hecho ella funciona, porque, de hecho, ella nunca es íntegramente fonética. El fonetismo no es sino su ideal. No obstante, nada exige que la escritura sea esencialmente fonética. Y nunca ha existido una práctica de escritura que fuese puramente fiel al principio fonético: “Nunca ha existido una práctica que fuese puramente fiel a su principio.”[4] Por tanto, “El sistema de la escritura en general no es exterior al sistema de la lengua en general.”[5]
Así como el concepto de lenguaje había sido extendido hasta designar la facultad general que explica la capacidad de sustituir algo por algo, es decir, la facultad de generar, organizar, emplear, reconocer y comprender signos de cualquier tipo (no sólo signos verbales), de la misma manera el concepto de escritura ha de ser expandido en su alcance hasta su postulación como modo fundamental del lenguaje. En efecto, el ámbito de aplicación de la noción de escritura, de huella o de grafema, entendida como elemento esencial, excede hoy el campo de los sistemas semióticos que se valen de la inscripción, sea ésta pictográfica, ideográfica o literal. No sólo la matemática teórica sino la cibernética y las ciencias humanas revelan que la escritura fonética es apenas un estadio, una manifestación de la escritura.
En los últimos tiempos, todo lo que anteriormente se agrupaba bajo el nombre de lenguaje, empieza a resumirse bajo el nombre de escritura: “Todo sucede como si el concepto occidental de lenguaje (...) se mostrara actualmente como la apariencia o el disfraz de una escritura primera.” Desde su concepción como duplicación accidental del habla hasta la idea exaltada de una escritura fundamental, la historia del concepto es eco de las formas que asume la escritura y de su imbricación en la evolución del hombre.
Por ende, “O bien la escritura nunca fue un simple suplemento, o bien es urgente construir una nueva lógica del ‘suplemento’.”[6] El privilegio de la phoné ha dominado toda una época de la historia del mundo y de las ideas, y ha confinado la escritura en una función secundaria. La escritura ha sido entendida como técnica, como portavoz e intérprete de la palabra, mientras el lenguaje, en verdad una especie de la escritura, usurpó el papel principal, en una aventura que parece estar llegando a su fin y que coincide con la técnica y la metafísica logocéntrica. Durante esa época, la escritura es vista como exterioridad respecto del sentido, entendido éste como presencia. Por eso a veces la filosofía creyó poder eximirse de ella. Por eso, la astucia laboriosa de Rousseau para descalificar el interés que él mismo había acordado a la escritura en el Ensayo…:
Tal es la situación de la escritura dentro de la historia de la metafísica: tema rebajado, lateralizado, reprimido, desplazado, pero que ejerce una presión permanente y obsesiva desde el lugar donde queda contenido. Se trata de raspar una escritura temida porque ella misma tacha la presencia de lo propio dentro del habla.[7]
Derrida dedica la segunda parte de su tratado De la gramatología (1967) al análisis de la forma que asume el logocentrismo en el pensamiento de Jean Jacques Rousseau. Su obra le parece ocupar un lugar singular en la historia del fonologismo abierta por Platón y culminada por la Enciclopedia de Hegel. Derrida señala a Rousseau como el único o el primero de los metafísicos en convertir en tema la escritura. El tema de la presencia, ya abordado en el Fedro y en De interpretacione, se renueva: es la presencia consigo del sujeto en la conciencia o en el sentimiento. En la certeza del cogito cartesiano, la evidencia era la presencia misma de la idea para el alma; todo signo le sería exterior y accesorio. “Hegel reapropia el signo sensible al movimiento de la Idea. Critica a Leibniz y realiza el elogio la escritura fonética en el horizonte de un logos absolutamente presente consigo... Pero ni Descartes ni Hegel se han enfrentado con el problema de la escritura.” [8] Las tentativas del estilo de la característica leibniziana habían abierto una brecha en la seguridad logocéntrica y fue Rousseau quien las condenó en forma explícita precisamente porque parecían suspender la voz. “‘A través’ de esa condenación, puede leerse la reacción más enérgica que organiza en el siglo XVIII la defensa del fonologismo y de la metafísica logocéntrica. Entonces lo que amenaza es la escritura.” [9] La amenaza no era aislada o accidental: era el momento del descubrimiento de las escrituras no europeas y de los progresos en las técnicas de desciframiento, en síntesis, de la posibilidad de la constitución de una ciencia general del lenguaje y de la escritura. La teoría rousseauniana de la escritura que se alza contra esa amenaza se inserta en la tradición logocéntrica e inspira todavía, y especialmente en Francia, el discurso dominante.
Pero, en verdad, el concepto de escritura excede e implica el de lenguaje. Así como antes se extendió el término ‘lenguaje’ para nombrar con él otras instancias de la cultura, así hoy se empieza a entender que escritura es mucho más que la inscripción literal, pictográfica o ideográfica: es la totalidad de lo que la hace posible, es
...todo aquello que pueda dar lugar a una inscripción en general, sea o no literal e inclusive si lo que ella distribuye en el espacio es extraño al orden de la voz: cinematografía, coreografía, por cierto, pero también ‘escritura’ pictórica, musical, escultórica, etc...También es en este sentido que el biólogo habla hoy de escritura y de pro-grama a propósito de los procesos más elementales de la información en la célula viva. En fin,...todo el campo cubierto por el programa cibernético será un campo de escritura. [10]
La descentralización del habla y de la escritura que le está subordinada está preanunciada desde el mismo territorio de la ciencia, donde la escritura de la matemática teórica niega, desde el interior del lenguaje científico, el ideal de la escritura fonética y toda su metafísica implícita. La ciencia, cuya idea nació en una cierta época de la escritura, que está ligada a la aventura de la escritura fonética y que tiene en ella la condición de posibilidad de sus objetos ideales, no ha dado lugar a una gramatología, que habría de ser la ciencia de la posibilidad de la ciencia: una ciencia que ya no tendría la forma de una lógica sino de una gramática. En cambio, la ciencia ha desarrollado la moderna lingüística, de orientación deliberadamente fonológica, que deja para el gramatólogo el registro anecdótico del devenir de los tipos de escritura desde un enfoque de historiador o de arqueólogo. El lingüista desconfía de la escritura y lo hace porque ha erigido en modelo a la escritura fonética, que nunca ha sido tan perfecta ni tan ‘inteligente’ como se pretende: “...pueden señalarse fenómenos masivos en la escritura matemática o en la puntuación, en el espaciamiento en general, que son difíciles de considerar como simples accesorios de la escritura”.[11]
Finalizando su análisis del pensamiento de Saussure, afirma Derrida:
Es necesario pensar ahora que la escritura es, al mismo tiempo, más externa al habla, no siendo su ‘imagen’ o su ‘símbolo’, y más interna al habla, que en sí misma ya es una escritura. Antes de estar ligada a la incisión, al grabado, al dibujo, o a la letra, a un significante que en general remitiría a un significante significado por él, el concepto de grafía implica, como la posibilidad común a todos los sistemas de significación, la instancia de la huella instituida. [12]
Esa huella instituida es inmotivada, ‘arbitraria’ dice Saussure, pero que no tenga un vínculo natural con aquello que significa no implica la ausencia de vínculo. Derrida señala que la huella es siempre devenida y que Peirce ha logrado compatibilizar lo arbitrario del signo y su enraizamiento en un orden de significación anterior y ligado. Ese enraizamiento no remite a una presencia sino que remite de un signo a otro signo:
Ningún suelo de no-significación –ya sea que se lo entienda como insignificancia o como intuición de una verdad presente- se extiende , para fundarlo, bajo el juego y el devenir de los signos. La semiótica ya no depende de la Lógica. La Lógica, según Peirce sólo es una semiótica. [13]
Lo que inaugura el movimiento de la significación es lo que hace imposible su interrupción. La cosa misma es un signo.[14]
La gramatología que Derrida sueña cubriría entonces todo el campo, incluiría a la lingüística y reemplazaría a la semiología propuesta por Saussure en el Curso. Se daría así a la teoría de la escritura la envergadura necesaria contra la represión logocéntrica y la subordinación a la lingüística, y se liberaría de esta manera a la semiología de la tiranía del signo lingüístico, erigido como estaba, en signo-maestro, ejemplar, modelo rector, ‘patrón’ general de toda la semiología. Derrida reacciona ante el extremo a que Barthes ha llevado la propuesta saussuriana e invierte totalmente los términos. Mientras Saussure había reconocido que la lengua es un sistema particular de signos y había ubicado la lingüística como disciplina privilegiada pero integrante de la Semiología, Barthes realiza-según Derrida- la más profunda intención del Curso: concibe la semiología como una parte de la lingüística. El extremo hace explícitos todos sus supuestos metafísicos y engendra su opuesto. Hjemslev, recordando las palabras de Bertrand Russell acerca de que no tenemos medios para decidir si la forma de expresión más antigua fue el habla o la escritura, había iniciado ya un camino similar al reconocer la especificidad de la escritura e inaugurar el campo de investigación que denomina ‘glosemática’.
La gramatología como ciencia debería responder a los problemas del origen y de la esencia de la escritura. Para determinar cuál es el origen, es menester establecer primero qué es la escritura. Una teoría de la escritura debe ser la base de una historia de la escritura, pero, de hecho, la investigación científica tomó primero y más sólidamente la forma de una historia. Las técnicas de desciframiento, la discusión sobre la naturaleza fonética o no fonética de sistemas diferentes al alfabético, la interpretación del mito como escritura originaria, la linealidad, el espaciamiento, la posibilidad de una retórica gráfica, son algunos de los problemas que esta ciencia debe investigar.

3. DE FILOLAO, EUDOXO… Y LAS ESFERAS CELESTES.
Prof.: Antonio Castellano.

El hombre desde que comienza a utilizar su pensamiento y a pensar en forma abstracta, tuvo la curiosidad por desentrañar las cosas de la naturaleza que ocurrían a su alrededor, así como buscar una explicación al cómo y al por qué ocurrían. Naturalmente muchas veces recurría a explicaciones mágicas, o a la obra de algún dios que justificara el hecho.
Al elevar los ojos al cielo, se encontró con un sinnúmero de interrogantes sobre el movimiento de las estrellas, y en particular de los planetas “cuerpos errantes o vagabundos” que no parecían tener la regularidad de movimiento de aquellas.
Los siete “planetas”[15], Luna, Sol, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, y Saturno, eran conocidos desde la antigüedad. Los babilonios los ordenaban de esa manera por su distancia a la Tierra. Los pitagóricos sabían de su existencia, los tomaban así, sin más y suponían que giraban alrededor de la Tierra en ese orden. Asociaron sus distancias con una escala musical, de tal forma que entre la Tierra y la esfera de las estrellas fijas había un intervalo de una octava. De esa manera los planetas al desplazarse generaban una “armonía de las esferas” que el oído humano no estaba capacitado para oír.
Filolao (alrededor del 450 a.C.) es el autor pitagórico de quien más ideas conocemos, y su visión del Universo se mantuvo hasta la época de Aristóteles. Su cosmogonía fue muy sofisticada, y consistió un ejemplo de la audacia teórica de los primitivos científicos griegos, liberados de las limitaciones del sentido común o los prejuicios religiosos. Para ellos lo importante era dar una explicación que fuera coherente con la realidad, y ninguna hipótesis era rechazada por más atrevida que resultase, si daba la explicación necesaria. Su cosmología sostenía elementos mitológicos (por ejemplo, creía que el mundo limitaba por el exterior con la esfera del Olimpo), aunque inició la creencia en la esfericidad de los cuerpos celestes (creencia que mantendrán casi todos los astrónomos posteriores). Filolao fue el primero en poner en duda el geocentrismo y la inmovilidad de la Tierra: en el centro del Universo colocó un Fuego Central (Atalaya de Zeus, Corazón del Universo, etc.), en torno al cual giraban los demás cuerpos celestes (Tierra, Luna, Sol, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, y Saturno), cada uno conducido por su propia esfera giratoria. La esfera más exterior era la de las estrellas fijas, que no se mueve. Pero había un problema: así quedaba un total de nueve objetos, cifra desagradable y antiestética para la escuela pitagórica, por lo que Filolao sacó de su manga un nuevo planeta: la Anti Tierra, que sería el más cercano al Fuego Central. Así se llegaba al mágico número diez (10 = 1+2+3+4), que era el número de la perfección para los pitagóricos (obsérvese que, una vez más, se ajusta la visión del mundo a las creencias personales a despecho de lo que digan las observaciones). Para justificar la imposibilidad de observar el Fuego Central (si bien el Sol reflejaba la luz que provenía de ese fuego central) y la Anti Tierra [16],
Filolao afirmó que nuestro planeta, al girar, lo hacía siempre con la cara que contiene el Mediterráneo dirigida al exterior del conjunto, completando una vuelta cada 24 horas. Esto implicaba dos cosas: que la Tierra giraba sobre su eje y además lo hacía alrededor del centro del mundo. Esta hipótesis es asombrosa; no solo Filolao rechazó la concepción geocéntrica, sino que consideró a la Tierra como un mero planeta más; además postuló la existencia de otro planeta ¡que resulta invisible! ¿Por qué lo hace? Aristóteles supuso que era para explicar los eclipses, y por qué son más frecuentes los lunares que los solares. A pesar del movimiento terrestre, Filolao admitía que la esfera de las estrellas también giraba, cuando resulta más simple suponer lo contrario, pero como todas las esferas se movían…. Esta concepción del Universo es muy ingeniosa, ya que aparentemente ofrece una buena explicación del movimiento de la bóveda estrellada, el transcurso del día y la noche, etc. y a la vez deja incólumes los postulados de la escuela pitagórica.
Híceta de Siracusa (¿siglo IV?) posiblemente perfeccionó el sistema anterior. Pudo llegar a la concepción que la Tierra giraba sobre su eje y abandonó la concepción del fuego central y de la Anti Tierra. Teofrasto (comentarista posterior) dice: “Híceta el siracusano cree que el cielo, el Sol, la Luna, y en definitiva todos los cuerpos celestes están en reposo, y que ningún cuerpo del universo se mueve, salvo la Tierra, como ésta gira alrededor de su eje. Todos los fenómenos se presentan como si se considerara la Tierra en reposo y los cielos en movimiento.”
Platón (429-347 a.C.) no dedicó ninguna de sus múltiples obras a la Astronomía, pero, sin embargo, sí incluyó en ellas numerosas alusiones a este campo del saber. Concebía el Universo como una esfera, y concluyó que los planetas también debían tener esta forma. Era partidario de colocar al Sol por encima de Mercurio y Venus. Fue quien estableció el dogma del geocentrismo, introdujo los poliedros regulares - los llamados sólidos platónicos- como esencia de los cuatro elementos básicos de la naturaleza, y también decidió que los cuerpos celestes habrían de ser perfectos; por ello, se moverían a lo largo de una circunferencia -la curva perfecta- alojada en una esfera de cristal -el sólido perfecto- y además “dignas de los cielos”. Este dogma perduró por veinte siglos hasta Kepler.
Platón ofreció un modelo intelectual de tipo geométrico. En lugar de permanecer sobre la Tierra e informar lo que se ve desde ella al mirar el cielo, se debía imaginar fuera del universo y preguntarse cuál debía ser la construcción que da origen a los sucesos visibles. El resultado es su cuadro del universo como una serie de ocho capas concéntricas situadas alrededor de la Tierra.
Platón entendía que su visión no solo era esquemática, sino que dejaba un problema clave sin explicar. Era necesario solucionar esas faltas, para comprender en realidad los principios que regían los movimientos celestes. Todo esto no era nada más que un bosquejo general; en consecuencia, se necesitaba refinar los detalles. Por ejemplo, era necesario calcular los radios y las velocidades de las distintas capas.
Además existía un hecho que tiraba por tierra todo este esquema, era el “movimiento retrógrado” de los planetas, que ya era conocido por los babilónicos. El problema era entonces explicar este bucle sin salir del modelo fundamental del movimiento circular, continuo y regular. No resulta extraño que en la Academia, Platón propusiera a sus discípulos la tarea de encontrar una solución geométrica por la cual se pudiera incluir este fenómeno dentro del esquema general.
Aunque aún hoy se discute si defendía la inmovilidad de la Tierra (como se infiere de múltiples pasajes de sus escritos), o si, por el contrario, ya intuía la rotación de su eje (como aparece en un único pasaje del Timeo). En todo caso, parece que conoció y adoptó las doctrinas de los pitagóricos a este respecto, creyendo así en la existencia de la Anti-Tierra y del Fuego Central. De todas formas, estas teorías fueron cayendo en el olvido poco después de su muerte debido al cada vez mayor conocimiento geográfico del mundo. No hay que olvidar que Platón se oponía a la observación de la naturaleza, en lo que difería radicalmente con Aristóteles.
Eudoxo (Eudoxio) de Cnido (408 a.C. – 355 a.C) ó (390 a.C. – 337 a.C.) Como muchos de los hombres que se han dedicado a la Matemática, Eudoxio sufrió de extrema pobreza en su juventud. Platón estaba en sus años mozos cuando vivía Eudoxo y Aristóteles tenía alrededor de los 30 años cuándo Eudoxio murió. Siendo joven, Eudoxio se trasladó a Atenas desde Tarento, donde había estudiado con Archytas (428-347 a. de J. C.), un excelente matemático, administrador y soldado.
Hacia el año 350 AC Eudoxo se trasladó a la ciudad de Cnido, donde encontró un régimen democrático recién establecido. Allí recibió la tarea a de escribir la nueva constitución. Otros trabajos que realizó Eudoxo fueron: el trazado de un mapa del cielo desde un observatorio construido por el mismo a orillas del Nilo, estudios de calendarios y registro de cambios estaciónales, y estudios meteorológicos y crecientes del Nilo.
Llegado a Atenas, Eudoxio pronto encontró a Platón. Aunque Platón no era un matemático en el sentido técnico, fue llamado "el hacedor de la Matemática". Su notable influencia para el desarrollo de la Matemática fue probablemente perniciosa. Pero rápidamente reconoció lo que era Eudoxio y fue su amigo devoto hasta que comenzó a sentir celos por su brillante protegido. Realizó un serio estudio de Astronomía, a la cual enriqueció con notables contribuciones. En su construcción científica se encontraba varios siglos adelante, en comparación con sus “verbalizantes” filósofos contemporáneos. Tenía un gran desprecio por las especulaciones acerca del Universo físico, como posteriormente Galileo y Newton, que no pudieran ser comprobadas por la observación y la experiencia.
En el campo de la Geometría, influyó de manera importante sobre Euclides por la teoría de las proporciones y el método exhaustivo, por lo que se ha considerado el padre del cálculo integral. La primera fue la solución más antigua a los números irracionales -que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros- . El método exhaustivo le permitió abordar el problema del cálculo de áreas y volúmenes como el de la pirámide de la cual dedujo que su volumen es un tercio del de un prisma que tenga la misma base. Asimismo, dividió la esfera celeste en grados de longitud y latitud. Eudoxo nunca escribió sus conclusiones geométricas y solo las trasmitió oralmente. Estas fueron pasando de generación en generación hasta nuestros días.
Por otro lado, combatió violentamente los horóscopos diciendo que: "Cuando se creen hacer previsiones acerca de la vida de un ciudadano con sus horóscopos basados en la fecha de su nacimiento no debemos dar crédito alguno, pues las influencias de los astros son tan complicadas de calcular que no existe hombre en la faz de la tierra que lo pueda hacer".
También fue el primer astrónomo que estableció que la duración del año era mayor en 6 horas a los 365 días. En su segundo libro llamado Las Velocidades, explicó el movimiento del Sol, la Luna y los planetas e introdujo un ingenioso sistema que podía satisfacer las premisas de Platón, el de las “esferas homocéntricas”. Supone que la Tierra permanecía inmóvil en el centro, y el resto de los planetas, la Luna y el Sol eran formas esféricas que ejecutaban movimientos circulares alrededor de ella. Las estrellas fijas eran el único cuerpo celeste que sólo tenía una esfera motriz; en cambio consideraba tres esferas para el Sol y la Luna y cuatro para cada uno de los cinco planetas, con diferentes ejes de giro. Estas esferas estaban situadas unas dentro de otras, todas ellas concéntricas con la Tierra. De esta manera, se explicaban los retardos y los bucles de los planetas, así como los movimientos oblicuos a lo largo de la eclíptica.
Cada una de estas esferas requeridas para un planeta tenía su propia función. La más externa de las cuatro explicaba el movimiento del planeta que compartía con la esfera celeste: esto es, la salida y puesta de cada día. La segunda esfera daba el movimiento del planeta a lo largo de la eclíptica, llevándolo alrededor del zodíaco en un período que dependía del planeta, y que oscilaba de un mes para la Luna a unos treinta años para Saturno. Las dos esferas, interiores y restantes, cuyos ejes formaban un ángulo con las otras, permitían explicar las variaciones de velocidad a lo largo de su trayectoria, así como su cambios de latitud respecto al plano de la eclíptica.
Para hacer un poco de luz en esta teoría, explicaremos a continuación el caso concreto del Sol (Fig. 1): los pitagóricos ya habían distinguido en él dos movimientos simples, el movimiento diurno y el movimiento anual, por lo que Eudoxo imaginó una esfera para cada uno de ellos. Así, la primera giraría a velocidad constante de este a oeste cada veinticuatro horas, y su eje pasaría por los polos norte y sur celestes. En el interior de esta esfera, y en contacto con ella, habría otra que explicaría el recorrido anual del Sol a lo largo de la eclíptica, por lo que su eje estaría inclinado 23,5º respecto a los polos celestes de la anterior, y giraría de oeste a este. Para finalizar, dentro de la segunda habría una tercera esfera que explicaría el movimiento latitudinal del Sol, aunque al no apartarse este astro de la eclíptica, en teoría podría prescindirse de ella. De todas formas, sería esta última la que contendría al Sol.

Para la Luna, explica la función de cada una de las esferas, la exterior, -como ocurría en todos los casos- giraba exactamente como la de las estrellas fijas, la segunda tenía un movimiento más lento de revolución, lo realizaba en 223 lunaciones –unos 17 años- según un eje perpendicular a la eclíptica; y por último la interior se movía en sentido contrario a la anterior y formando un ángulo de 5º respecto a la eclíptica en un tiempo de poco mas de 27 días, (mes draconítico) el tiempo que tardaba la luna en cruzar dos veces consecutivas el plano de la eclíptica, o sea lleva nuevamente a la Luna al nodo. De esta manera con las dos esferas interiores explica la variación de latitud respecto a la eclíptica y la periodicidad de los eclipses; y además la retrogradación de los nodos respecto a la eclíptica, que requiere un tiempo equivalente a 223 lunaciones, unos 18 años[17].
El desafío de los planetas era acuciante: presentaban no sólo cambios de velocidad, puntos estacionarios y desviaciones de la eclíptica, sino retrogradaciones, cuya explicación llevaría a Eudoxo a introducir su famosa hipopede (traba de caballería en forma de 8) o lemniscata esférica (Fig. 2). Para lo cual necesitó introducir una cuarta esfera. La hipopede resultaba del movimiento combinado de las dos esferas más internas: el periodo de rotación del planeta sobre esta figura correspondía al periodo sinódico del planeta -el tiempo que le lleva recuperar la misma posición con relación al sol-, mientras que el de rotación sobre la esfera que lo portaba correspondía a su periodo sideral -el tiempo preciso para llegar a situarse bajo la misma estrella fija.-
Quedaban así un total de 27 esferas para poder “salvar los fenómenos” en el Universo.
Eudoxo consiguió explicar de una manera primaria los fenómenos celestes conocidos entonces, aunque trató por separado los movimientos de los planetas, uno a uno, nunca todos juntos. Por lo tanto, no puede calificarse su explicación como un modelo astronómico propiamente dicho, sino únicamente bajo la perspectiva de quien desea sólo comprender lo que observa. Es indudable que su teoría así formulada, solo parcialmente lograba dar un cuadro convincente de cómo funcionaba el sistema planetario. Pero todo lo que Platón pedía y todo la que Eudoxo dio, era una construcción intelectual que incluyera los principales fenómenos planetarios dentro de la estructura geométrica general. Aunque desde el punto de vista de Platón no tenía ninguna importancia si las esferas eran cosas materiales reales; se trataban de ideas matemáticas, no eran cuerpos sólidos.
Calipo de Cízico (370 a.C.-310 a.C.) Trabajó con Aristóteles posiblemente hacia 330 a.C. Estudió en la escuela de Eudoxo y realizó observaciones astronómicas en el Helesponto. Su trabajo con Aristóteles en parte consistió en corregir y completar los descubrimientos de Eudoxo. Realizó determinaciones precisas sobre la duración de las estaciones y construyó un ciclo de 76 años que comprendían 940 meses para armonizar los años lunares y solares. Este calendario fue adoptado en el 330 a.C. y utilizado por astrónomos posteriores.
El calendario de Calipo estaba basado en el periodo metódico (siete años de 13 meses lunares y doce años de 12 meses lunares), diseñado por Metón (nacido alrededor del 460 a.C). El periodo Calípico es un ciclo de 4 periodos metónicos siendo más preciso que este, porque corregía la duración del año (365,25 días) que tenía un error en los cálculos de Metón (365 días). De esta manera el ciclo Calípico comprendía 940 meses lunares reduciendo la duración de los cuatro ciclos metónicos en un día. De esta manera Calipo hizo coincidir 940 meses lunares con 76 años tropicales de 365,25 días.
Calipo advirtió las imperfecciones del sistema de Eudoxo y trató de eliminarlas agregando siete esferas mas, es decir, dos mas para el Sol, dos para la Luna, y una para cada uno de los planetas, excepto a Júpiter y Saturno; por lo que llevo al sistema a 34 esferas para explicar el movimiento de los cuerpos celestes. De esta manera el Sol, la Luna, Mercurio, Venus y Marte pasaban a tener cada uno, cinco esferas, mientras que Júpiter, Saturno poseían cuatro y las estrellas una. Esta adición de siete esferas al sistema de Eudoxo aumentó la precisión de la teoría que exponía que los planetas se movían en círculo perfectos. Otros trabajos de Calipo en matemáticas astronómicas incluyeron la observación de las diferencias de la duración de las estaciones explicando esto por variaciones en la rotación del Sol agregando –posteriormente- dos esferas más en su movimiento, lo que llevó el numero de esferas a 36.-
Aristóteles (384-322 a.C.), el más universal de los sabios griegos, fue, para la ciencia, un gran biólogo mas no un gran físico. Disecó y clasificó de manera razonable muchas especies animales, entendió que el delfín no es un pez y, en cierto sentido, delineó una jerarquía de los seres vivos que insinuaba la idea de evolución. Con las ciencias exactas, Aristóteles no logró tales éxitos. Aceptó las esferas de Eudoxio pero las aumentó en número, con lo que éste superaba ya el medio centenar, erosionando así la sencillez de los modelos primitivos. Además, a diferencia de Eudoxio, que probablemente imaginaba las esferas celestes como una mera abstracción matemática, parece ser que el gran filósofo griego les confería una existencia física y real.
En la Astronomía, Aristóteles propuso la existencia de un Universo esférico y finito que tendría a la Tierra como centro. La parte central estaba compuesta por cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. En su Física, cada uno de estos elementos tenía un lugar adecuado, determinado por su peso relativo o "gravedad específica". Cada elemento se movía, de forma natural, en línea recta -la tierra hacia abajo, el fuego hacia arriba- hacia el lugar que le correspondía, en el que se detendría una vez alcanzado, de lo que resultaba que el movimiento terrestre siempre era lineal y siempre acababa por detenerse. Los cielos, sin embargo, se movían de forma natural e infinita siguiendo un complejo movimiento circular, por lo que debían, conforme con la lógica, estar compuestos por un quinto elemento, que él llamaba aither, elemento superior que no era susceptible de sufrir cualquier cambio que no sea el de lugar realizado por medio de un movimiento circular. La teoría aristotélica de que el movimiento lineal siempre se lleva a cabo a través de un medio de resistencia es, en realidad, válida para todos los movimientos terrestres observables.
El programa que esbozó Aristóteles para la física comprendía dos etapas. En primer lugar, había que establecer una teoría general del movimiento a partir de un estudio de las cosas familiares que se observan sobre la Tierra; luego, cabía esperar que se pudieran aplicar los principios físicos así establecidos a los cielos. Fue aquí donde se insertó el sistema de Eudoxo de las esferas geométricas concéntricas. Las construcciones geométricas que empleó Eudoxo ya sugerían claramente conexiones mecánicas. La tarea consistía en continuar en ese camino y ver hacia dónde conducía.
Aristóteles decía, en primer término, que un esquema geométrico solo puede ser aceptable si satisface la condición de tener sentido mecánico, es decir, que debe adecuarse a nuestras ideas generales acerca de la materia y el movimiento. Estaba muy bien concebir una representación puramente geométrica del sistema planetario, pero para una comprensión real del mismo se necesitaba algo más: era menester determinar cómo se conectaban unas con otras las partes del mismo, o sea cómo funcionaba todo el sistema. Como esquema ideal, era admirable. Su ambición era hacer de la descripción geométrica que dio Eudoxo de los movimientos planetarios ("la cinemática planetaria"), la base para una teoría acerca de las interacciones que producen esos movimientos ('la dinámica planetaria'). Esto era precisamente lo que Newton iba a realizar siglos más tarde con la particular cinemática planetaria de Kepler.
Para Aristóteles, la explicación de Eudoxo tenía una gran deficiencia. En lo que respecta a la geometría, podía usarse el esquema de las veintisiete esferas concéntricas para construir órbitas planetarias muy semejantes a las observadas en la realidad. Pero Eudoxo no explicaba por qué los planetas se mueven de este modo, qué los obliga a continuar su viaje a lo largo de esas complicadas trayectorias. El problema más serio se encontraba entre el cuarteto de esferas pertenecientes a cada planeta y las cuatros de los planetas situados a continuación. Eudoxo había tratado la trayectoria de cada planeta como un problema independiente y el esquema resultante era mecánicamente incomprensible. Aristóteles podía aceptar la rotación de la esfera más externa, la esfera de las estrellas fijas, que cumplía una vuelta completa uniformemente, cada día. Esta esfera era el Primum Móbile, que derivaba directamente su rotación de la fuente divina de todos los movimientos celestes. Pero, ¿cómo se trasmitía a su vez esta rotación (correspondiente al mítico "eje de la Necesidad" de Platón) a cada una de las veintiséis esferas internas de Eudoxo? No se podían dejar sin llenar los resquicios entre los diferentes cuartetos de esferas.
Por eso, Aristóteles concibió un mecanismo que daba al esquema un sentido mecánico coherente. El movimiento debía ser trasmitido, por ejemplo, desde la esfera más interior de Júpiter a la esfera más externa de Marte. ¿Cómo se realizaba esto? Las esferas externas de todos los planetas se movían de la misma manera —o sea, a la par con la esfera de las estrellas fijas—, de modo que cualquiera sea la conexión que hubiera entre las esferas de Júpiter y las de Marte debían quedar anulados los efectos de las tres esferas internas de Júpiter; pues son éstas las que en conjunto hacen que Júpiter se mueva de manera específica. El modo más simple de anular estos efectos era suponer que los lazos mecánicos introducidos por las tres esferas interiores de Júpiter se invertían, uno por uno, a medida que se avanzaba hacia el interior, hasta la esfera más externa de Marte. Como Aristóteles comprendió muy bien, esto ocurriría si entre Júpiter y las esferas de Marte se interpusieran tres esferas adicionales, cada una de las cuales se movería exactamente en el sentido inverso al movimiento de una de las tres esferas interiores de Júpiter. Algo semejante ocurriría con respecto a los otros abismos interplanetarios.
Supongamos que todos estos eslabones de los engranajes celestes rotaran uniformemente en círculos alrededor de sus propios ejes y, al mismo tiempo, trasmitieran a las esferas interiores un movimiento cuyo origen último sea la esfera de las estrellas fijas. Tenemos entonces un esquema de conexiones que introduciría en la teoría planetaria una armonía con sentido mecánico.
Eudoxo suponía que los movimientos del Sol o de la Luna involucraban, en uno u otro caso, la existencia de tres esferas y que el movimiento de cada uno de los planetas suponía la existencia de cuatro esferas [o sea veintiséis en total].
Calipo asignó a las esferas las mismas posiciones que Eudoxo. Pero, aunque asignó a Júpiter y a Saturno el mismo número que Eudoxo, consideraba que para explicar los hechos observados, era necesario agregar dos esferas más para el Sol y dos para la Luna; y también una más para cada uno de los planetas restantes [o sea, treinta y cinco en total].
Pero, a fin de que la combinación de todas las esferas permita explicar los hechos observados, era necesario que para cada uno de los planetas hubiera esferas adicionales —una menos que las asignadas hasta ahora—, para compensar a las anteriores y reinstaurar a la esfera más externa del planeta siguiente en su posición propia; pues solamente así podían producir todos los agentes que intervienen el movimiento observado de los planetas. El número de todas las esferas, de las que mueven a los planetas y de las que compensan sus movimientos, sería de cincuenta y cinco.-
Así, el esquema planetario completamente desarrollado que resultó de la obra de los filósofos atenienses clásicos, representó a los cielos como una serie de caparazones esféricos, encajados unos dentro de otros, en número de cincuenta y seis y con la Tierra en el centro. La más grande de todas era la esfera divina, que se movía por sí misma y que contenía a las estrellas fijas. La esfera más externa de Saturno rotaba a la par con la anterior, y había otras tres esferas que explicaban el movimiento propio del planeta, producido directamente por la más interna de las cuatro, a la cual se hallaba unido. Tres esferas compensatorias unían las esferas más pequeñas de Saturno con la más grande de Júpiter; de este modo, Saturno tenía en total siete esferas unidas entre sí y asociadas con su movimiento. Júpiter, también tenía siete; Marte, el Sol, Venus y Mercurio tenían nueve cada uno, cinco para producir su movimiento, cuatro para "compensar". Finalmente, la Luna tenía cinco.
Solo la esfera más exterior tenía un movimiento simple, las cincuenta y cinco esferas restantes tenían sus complejos movimientos ligados a ella. Solo la Tierra estaba en reposo, en el centro de ese pandemónium de esferas. La primera esfera contenía a la Luna que dividía al mundo en dos: el mundo sublunar, el del cambio constante, dominado por los cuatro elementos; y el supra lunar inmutable, sin cambios, donde regía la quinta esencia, lo divino, (lo que parece un contra sentido porque en ese espacio se movían los planetas y el Sol. ¿Será que estos no generaban un caos, pese a lo complicado de sus movimientos, como lo que ocurría bajo la esfera Lunar?)
Heráclides de Ponto (288-310 a.C.) fue el primer ser humano del que tenemos constancia objetiva que defendió la idea de que la Tierra giraba alrededor de su eje. A esta idea se opuso firmemente Aristóteles, señalando varias pruebas empíricas en apariencia irrefutables, como indicar que si se arrojara un objeto hacia arriba y la Tierra estuviera rotando, éste no caería en el mismo lugar donde fue arrojado. Como buen platónico, Heráclides siguió colocando a nuestro planeta en el centro del Universo, pero situó a Mercurio y Venus girando alrededor del Sol (que, a su vez, giraba en torno a la Tierra), lo que contribuía a explicar sus variaciones de brillo conforme se acercaran o alejaran a la Tierra. Fue una lástima que no fuera un paso más allá y comprendiera que ocurre lo mismo con todos los demás planetas, lo que le habría llevado a desarrollar el primer sistema heliocéntrico de la Historia.
Si bien estas ideas de las esferas celestiales homocéntricas fueron dadas y tuvieron su esplendor hace más de dos siglos, aún perduran algunas expresiones que son bastante comunes en nuestro lenguaje: “…en las esferas del poder…”, “…están fuera de las esferas de influencia…”, “…en las altas esferas de los negocios…”, “…en esferas cercanas al presidente…”, “…estaba encerrada en una esfera, ignorando…”
Con lo cual es posible decir que Eudoxo aún sigue vigente entre nosotros.

Bibliografía:
1. Sarton, George. Historia de la Ciencia. Tomos I y II . EUDEBA, 1965
2. Mieli, Aldo. Panorama General de la Historia de la Ciencia Tomo I El mundo antiguo. Ed. Espasa Calpe Argentina S.A., 1945
3. Toulmin, Stephen y Goodfield, June, The Fabric of the Heavens Ed. Hutchinson & Co., London, 1961
4. Schurmann, Paul. Historia de la Física Tomos I y II Ed. Nova Bs Aires, 1945
5. Collette, Jean-Paul. Historia de las Matemáticas Tomo I Ed. Siglo XXI, 1986

4. UNA VISIÓN CONTEMPORANEA DE LA TAREA EDUCATIVA:
Prof. Pablo Federico Rodríguez.

Este no pretende ser un exhaustivo relato desde la experiencia vivida durante años y años. Justamente el eje de estas líneas no tiene correlato con lo visto en años de trayectoria, sino la propuesta es intentar ver otra cosa... Y digo esto porque creo firmemente que el sentido de la vida en la escuela ya no va de suyo, no tiene un significado convenido por todos los que, desde hace mucho o -como en mi caso, desde hace muy poco- transitamos esta hermosa vocación. En un momento de tanta incertidumbre, de cambios tan acelerados -incluso de cambio de los patrones de cambio- que en tantos segmentos de nuestra urbanización social[18] se observan desde la más absoluta perplejidad, resulta necesario instituir un sentido. Es menester aclarar que instituir no significa necesariamente restituir[19], es decir, restablecer un sistema de significantes y significados ya probados, transitados, en muchos casos, ya superados por la realidad social.
Para poder dar un contexto histórico al relato ulterior, debemos situarnos en la década del '70, donde comienzan a darse una serie de cambios que hacen mella de manera profunda en las diversas estructuras sociales. Tomaremos tres categorías de análisis -y sus implicancias en el campo educativo- a partir de las cuales podremos “entrarle” a esta manifiesta crisis educativa: global, local, institucional; maso, meso, micro[20]. Podemos identificar a las mismas en base a tres representaciones en particular: el Mundo (lo global), el Estado (lo local), la Escuela (lo institucional). A estas categorías podríamos sumarle un cuarto nivel, el personal; pero a efectos de facilitarle la tarea al lector, sólo mencionaremos algunos rasgos de las transformaciones que los cambios en los niveles anteriormente mencionados le imprimen a la persona. Cabe destacar que el análisis de la situación requiere desligarse de una lectura lineal de lo que acontece, poder pensar en “tres dimensiones”, teniendo en cuenta una realidad multicausal y compleja, que no responde a la estructura dual causa-consecuencia. Es por ello que las categorías mencionadas no son estáticas y aisladas, sino que están dinámica y sistémicamente interrelacionadas, a partir de un profundo proceso de cambio.
Podemos hablar del nacimiento de una nueva sociedad, el cual responde a tres fenómenos independientes, simultáneos pero inédita y dinámicamente entrelazados, que son el núcleo de este nuevo escenario: la revolución de las tecnologías de la información, la crisis -y caída- de la matriz estado-céntrica (como así también sus posteriores intentos de reestructuración) y el desarrollo de importantes movimientos sociales y culturales[21]. A partir de la aparición y profundización de estos procesos, se transforman tres categorías en las que se estructura el funcionamiento social, a saber: las relaciones de producción, las relaciones de poder y las relaciones de experiencia.
En primer término, debemos hablar de una reestructuración del proceso productivo, del trabajo y del capital. La empresa toma una nueva forma organizacional, tendiente a maximizar la flexibilidad y la innovación en sus procesos productivos, pues ello asegura productividad y competitividad. Tal reestructuración sólo es posible a partir del avance de las tecnologías de la información, que estructuran la vida de la organización. Este proceso modifica sustancialmente el rol del trabajador. Primeramente por la imperiosa necesidad de conocer estas tecnologías, pero aún más por la flexibilidad de adaptación a los cambios que la misma propone en tiempos reducidos. Es decir, no alcanza con la calificación que el trabajador pueda tener respecto del proceso productivo que desarrolla sino que es fundamental una educación integral que le permita adaptarse a las distintas calificaciones que se sucedan temporalmente a causa de las transformaciones que se dan en el seno mismo de las tecnologías anteriormente mencionadas. Asimismo, cabe mencionar que lo anteriormente dicho viene acompañado por una creciente descentralización coordinada del trabajo, que hace horizontales a las relaciones de poder en la misma organización, lo cual demanda un nivel alto de autogestión por parte de los trabajadores.
En segundo término, es pertinente señalar a la luz de esta síntesis, las modificaciones en las relaciones de poder. La matriz estado-céntrica se encuentra cuestionada, en términos de García Delgado, por arriba y por abajo, es decir, por los organismos supranacionales como así también por sus propios gobernados, acusada de no poder llevar a cabo sus principales -y tradicionales- funciones. Es que el Estado Benefactor, al reducirse a un Estado mínimo debido a fallidas reestructuraciones se encuentra destituido de su poder organizador de la vida social. Ya no estructura, no interpela la vida de los ciudadanos. Las tecnologías de la información, conjuntamente con la dinámica de los mercados financieros globales y el crecimiento de las empresas transnacionales han desdibujado las fronteras que delimitaban su soberanía, tanto externa como internamente. En este contexto, la escuela moderna, que fue creada por un Estado liberal delimitado en sus funciones de intervención, y que adapta su funcionamiento a un Estado de Bienestar de tinte intervencionista, también se halla atravesada por la crisis de aquel que supo darle un sentido de futuro fuerte; mas ahora la escuela se encuentra redefiniendo sus funciones, que al igual que el Estado, sumidos en la más absoluta perplejidad, se acomodan a una geometría de poder variable de las distintas configuraciones espacio-temporales, con actores e instituciones sociales diversos según cada una de ellas.
En tercer término, es necesario destinar algunas palabras a las transformaciones de las relaciones de experiencia. Castells introduce a las mismas a partir de la redefinición de la familia, las relaciones de género, la sexualidad y por ende, la personalidad. Las nuevas relaciones de producción han generado modificaciones sustanciales en el núcleo familiar, con lo cual se modifican los modelos de socialización de los niños. Asimismo, la escuela ya no es la única depositaria del saber. Entonces, como diría Tedesco, la familia (que no es la misma familia característica de la modernidad) no es la sola encargada de la socialización primaria; la escuela no es la sola encargada de la socialización secundaria. Nos hallamos frente a modelos de subjetivación social construidos por la experiencia, que no siguen los libretos preestablecidos.
Estas transformaciones, tal como ya fue mencionado, repercuten significativamente en las estructuras de la sociedad y, en consecuencia, en su tradicional funcionamiento. Aparecen fenómenos muy marcados de pobreza, marginación y exclusión -que se representan en las tres esferas explicitadas- Asimismo, el crecimiento exponencial en la valoración del conocimiento expone a la escuela a nuevas demandas de nuevos grupos sociales cada vez más masificados, cada vez más heterogéneos. El conocimiento es considerado socialmente como la herramienta para el desarrollo en sociedad de las nuevas generaciones. Claro está, este no es un dato novedoso, históricamente ha tenido esa significación en el imaginario social, pero en la actualidad ha devenido en una polarización inédita, de forma que determina la entrada o salida del sistema social. Esto se traduce en políticas públicas de expansión del sistema educativo, lo que genera la necesidad de la escuela de adecuar su funcionamiento a las mismas. Es por ello que conviven en una misma situación áulica distintas “juventudes” interactuando en forma inédita y dinámica; en otras palabras, la escuela se encuentra en el centro del discurso social, atormentada por una serie de demandas sociales diferenciadas ya sea por aquellos que quieren “entrar” en los circuitos sociales y aquellos que no quieren perder el posicionamiento logrado. Según Tenti Fanfani:
“Pero la masificación está acompañada por un cambio significativo en la morfología social de los alumnos. No sólo los adolescentes y jóvenes que se escolarizan son más, sino que son diferentes. Por una parte ingresan los que tradicionalmente estaban excluidos. A los 'herederos y becarios' se agrega el grueso de la población, es decir, se agregan los hijos de los grupos sociales subordinados de las áreas urbanas primero y las rurales después […] Los grandes cambios en los modos de producción y en la estructura social y familiar, las transformaciones en el plano de las instancias de producción y difusión de significados (la cultura) afectan profundamente los procesos de construcción de subjetividades. El poder del sistema educativo para formar personas, hoy es más relativo y relacional que nunca”[22]
Y en el medio de esta tormenta inusitada de transformaciones sociales, se encuentra el docente. Ese docente que fue formado para otra escuela, para otros alumnos y para otra sociedad, y que hoy ve desdibujado su rol tradicional de transmisor de saberes disciplinares. Este docente se enfrenta básicamente con la necesidad de cumplir con los requerimientos de expansión del sistema educativo y de dar respuesta a las demandas sociales de incremento de la calidad y actualización de los contenidos y procesos de su disciplina, en el contexto de una población de alumnos heterogénea y sustancialmente disímil de aquella para la que fue formado, como así también el de una realidad innegable de crisis institucional en tanto máquina de estructuración simbólica de la vida social.
La revolución de la informática ha modificado los núcleos clásicos de socialización y ha despojado a la escuela de su lugar prioritario como transmisora de conocimientos. Hoy nuestros adolescentes llegan a la escuela con una carga muy importante de información que no se ha tamizado a través del bagaje cultural que anteriormente otorgaba la familia, lo que produce un inevitable choque entre la cultura escolar y las culturas no escolares. Cabe entonces preguntarse que posición asumir como docente frente a este escenario; si habrá que desarrollar nuevas competencias en el ejercicio de la función o mantenerse inmutable ante la realidad; si es pertinente incluir las culturas escolares dentro de la cultura institucional y, de ser así, en que grado; si resulta necesario un replanteo acerca de que conocimientos serán pertinentes para incluir a las generaciones venideras dentro del sistema de estructuras sociales y disminuir de esta forma la brecha de desigualdad que hoy sufrimos; cómo es posible ofrecer una respuesta cierta a las demandas que se le adjudican a la escuela.
Tal como lo expresa Tedesco el aprender a aprender es uno de los pilares de la educación del futuro:
“Hoy en día lo que una persona aprende en su vida escolar no le va a servir para su vida profesional, deberá renovar sus conocimientos permanentemente. La obsolescencia y la renovación de los conocimientos son muy rápidas. La mayor accesibilidad a la información obliga de manera constante a trabajar en su procesamiento.”[23]
La cantidad de información que se produce día a día es realmente muy importante, como así también la necesidad del hombre por obtenerla en todo momento. Esto modifica sustancialmente la tarea del docente puesto que debe ayudar al alumno a que identifique que tipo de operaciones mentales se están realizando durante el proceso de aprendizaje[24]. Y esto, a su vez, es particular para cada epistemología, puesto que aprendemos contenidos concretos: letras, matemática, física o biología. Cada una de ellas posee una lógica interna diferente del resto de las disciplinas; en otras palabras, los contenidos de cada una de ellas generan competencias cognoscitivas diferentes en el alumno.
Por otra parte, nuestros alumnos llegan a las aulas portando cierta cantidad de información que ellos consideran valiosa, lo cual impacta contra los saberes disciplinares. Entienden que pueden obtener ciertos conocimientos sin la ayuda del docente y, en algunos casos, disponen de más información que estos últimos. Entendemos que las alternativas de mímesis o rechazo absoluto de estas culturas no escolares no aportan nada significativo a este debate. La escuela debiera mantener los rasgos característicos que le imprimen identidad, pero flexibilizando su funcionamiento a partir de la lectura de lo que sucede extra-muros. Es decir, reconocer la existencia de circuitos de información paralelos a los sistemas educativos, adoptarlos y resignificarlos a la luz de los objetivos de la institución escolar:
“Los niños y jóvenes son portadores de un afuera distinto Lógica: del mundo audiovisual. De una sociedad más fragmentaria y heterogénea. Con otras configuraciones familiares. Con una revolución científico tecnológica sorprendente.
La escuela debe hacerse permeable. No para actuar miméticamente, sino para establecer desde la asunción de los datos centrales de época una escisión, una ruptura creadora, construir una distancia, una superación”[25]
La construcción de esta ruptura creadora no podrá realizarse sino a partir de los docentes. El espacio de formación docente jugará un papel clave en la superación del contexto de crisis educativa. Tres son los puntos clave, a nuestro entender, para la formación de futuros docentes: la vocación, la autogestión y la investigación-acción. Sin la primera, coincidiremos, no es posible educar. En cuanto al segundo punto, la cantidad y diversidad de información requieren una actitud preactiva en términos de búsqueda y análisis de producciones teóricas que sean solidarios al desarrollo de la actividad. Por último, la formación en el docente de un espíritu investigativo implica que el mismo se enfrente a la necesidad de reflexionar sobre sus propias prácticas, generar producciones teóricas e intentar objetivar y elevar el standard de calidad de las mismas. Asimismo, la investigación-acción puede ser una herramienta importante para la construcción de un cuerpo de conocimientos sólido propio de los docentes, diferenciado en cada una de las áreas de conocimiento, basado en la búsqueda de estrategias que den respuesta a los problemas de aprendizaje de cada disciplina en cuestión. Consideramos que estos tres puntos hacen a la profesionalización de una tarea que necesita una resignificación nacida en el seno de las propias problemáticas, una construcción de sentido propia, desde y hacia los docentes.
Ciertamente es posible una salida de esta crisis. Quizás, como en los laberintos, sólo se pueda salir por arriba, es decir, construir alternativas que, sin estar basadas en los libretos preestablecidos, intenten sostener los principios y valores que la educación supo transmitir en otro momento pero contextualizando el análisis a partir de la generación de nuevas categorías que den cuenta de la pluralidad y multiplicidad de factores que se ponen en juego en esta compleja realidad.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
1. Castells, Manuel; La era de la información: economía, sociedad y cultura; 1998; Siglo XXI Editores; Buenos Aires; Volumen 3: Fin de milenio; conclusión.
2. Frigerio, Graciela; Poggi, Margarita; Tiramonti, Guillermina; Las instituciones educativas. Cara y Ceca: Elementos para su comprensión; 1992; Editorial Troquel: Serie Flacso – Acción; Buenos Aires.
3. Púlfer, Darío; Las escuelas ante los desafíos sociales actuales y la nueva Ley de Educación Nacional; 2007; apuntes de cátedra: Política y Legislación Educativa Comparada; Licenciatura en Administración y Gestión de la Educación; UNSAM/CONSUDEC.
4. Sadovsky, Patricia; Enseñar Matemática Hoy: Miradas, sentidos y desafíos; 2005; Libros del Zorzal; Buenos Aires; introducción.
5. Tedesco, Juan Carlos; El nuevo pacto educativo; 1995; Alauda – Anaya; Madrid; capítulo 4.
6. Tedesco, Juan Carlos; Los pilares de la Educación del Futuro; 2006; IIPE; Buenos Aires.
7. Tenti Fanfani, Emilio; Culturas juveniles y cultura escolar; 2000; IIPE; Buenos Aires.

5. PERO CÓMO... ¿ GIUSEPPE VERDI, NO FABRICA GALLETITAS ?
Prof. Horacio Rinaldi

Hace ya un tiempo atrás, del orden de un par de años, mi cuerpo fue un involuntario escenario de una feroz lucha entre virus de todo tipo y tamaño y mis anticuerpos. La batalla fue tremenda y como resultado de tal acontecimiento estuve una semana completa en cama.
Además de pasar los días leyendo y escuchando mucha música fui televidente de la programación de la tarde de nuestra televisión. En esa época, existían diversos ciclos de entretenimientos en donde para obtener algún premio era necesario contestar preguntas de “cultura general”. En uno de esos programas, alumnos de distintas escuelas competían por conseguir que el auspiciante de turno les pagara sus viajes de egresados.
La conductora realizaba preguntas en forma alternada a dos conjuntos de cinco alumnos cada uno, pertenecientes a dos escuelas distintas. El alumno de la escuela a la cual se le formulaba la pregunta, y que sabía la respuesta, debía dirigirse hacia el micrófono y contestar.
En un momento, una de las conductoras, preguntó a los cinco alumnos de una escuela qué es “La Traviata”. Inmediatamente una alumna del grupo se abalanzó sobre el micrófono y contestó: ¡ una galletita ! Silencio. Luego risas. Risas que desde mi lecho de enfermo compartí.
Tiempo después, en uno de los tantos programas que recrean las cosas que pasan en la televisión, pasaron un conjunto de yerros cometidos por los estudiantes y público en general en el intento de contestar preguntas de cultura general. Entre los errores mostrados apareció el que yo había visto. Por supuesto, también aparecieron muchos más. Todos inevitablemente invitaban a la risa.
Frente a esto, el primer comentario que surge es el de la falta de cultura general no sólo de los adolescentes en general sino de algunos adultos en particular. Obviamente éste es un mal síntoma de nuestra época del que se escuchan permanentes debates, sobre todo tratando de analizar el por qué se llegó a esa situación.
La mayoría de los debates terminan con una especial mención a lo mal que se enseña en la escuela y los responsables directos de esto terminan siendo en general los docentes. Aunque si bien sobre este tópico también tengo mi opinión, no es la idea que me llevó a escribir esta nota.
Lo que sí me interesa resaltar es que en esos programas, como en la mayoría de los programas que existieron y todos los que existen en la actualidad, cultura general se asocia al conocimiento más o menos profundo que una persona tenga en áreas de las Ciencias Sociales, las Artes, la Literatura, la Filosofía, la Biología y la Medicina entre otras (“otras” incluye el conocimiento de nombres de actores, deportistas y políticos, por ejemplo).
Muy de vez en cuando se escuchan preguntas sobre Astronomía y Química. Muchas menos veces se hacen preguntas sobre Matemática y, cuando esto ocurre, queda sólo reducido a un simple (o difícil) cálculo aritmético. Lo que es seguro es que casi no se escuchan preguntas sobre Física.
Todavía más interesante es que en algunos de estos programas al que gana se lo asocia con una “persona culta”. Evidentemente, a ninguno de los productores de estos programas les interesa saber el grado de conocimiento que los alumnos y el público en general tienen sobre las Ciencias Exactas. Y por supuesto, el desconocimiento casi completo de estas ciencias no lo relacionan con el grado de incultura de una persona.
Comparto la opinión generalizada que desconocer cuál es la capital de Francia, quién fue Shakespeare, quién escribió el Martín Fierro o quién pintó la Última Cena establece un grado de incultura. No es un buen síntoma que una alumna confunda la ópera La Traviata con una galletita. O que quizás esta misma alumna hubiese asociado a Verdi con una fabrica de galletitas o más aún con ser el dueño de Terrabusi.
Pero igualmente malo es que pocos, inclusive los que la gente considera como personas cultas, no puedan contestar con claridad quién fue Kepler, o que por ejemplo confundan a Heisenberg con la marca de una cerveza.

La falta de alfabetización científica se extiende a un alto porcentaje de la población, que incluye a los alumnos, al público en general, a los llamados cultos, a los responsables de los programas de preguntas sobre cultura general, a los políticos y a los responsables de los medios de comunicación, entre otros. Justamente es en los medios de comunicación donde la falta de un mínimo conocimiento científico trae diversos problemas. Por ejemplo, cada vez que aparece algún acontecimiento vinculado con el “espacio exterior” es común que en los medios de comunicación se confunda el problema astronómico o astrofísico con un problema astrológico, total, las tres áreas del conocimiento describen el mismo tipo de problema. O para rematarla, consultan a Fabio Zerpa, antes que a algún científico del IAFE, organismo que salvo la gente que ahí trabaja y algunos pocos más, nadie sabe que existe y menos aún para qué sirve.
Todavía es común escuchar que ciertos locutores de radio dicen una antigua y famosa frase: “estamos en el éter en la frecuencia.....” o por ejemplo que se hable que “la fuerza que traía el auto era de 100 km/h” o que “la pelota fue despedida a una velocidad de 80m”, o mejor aún, “la pelota llegó con mucha fuerza”. Ahora bien, el concepto más usado por casi todos, pero en general en forma incorrecta, es, sin lugar a dudas, la energía. Existe la energía asociada a las piedras, las pirámides, las cartas, la borra de café, las plantas y a cualquier objeto que los adivinadores utilicen para adivinar nuestro futuro. Por supuesto, que es una energía difícil de definir, pero a ellos les sirve para establecer contacto con el objeto y descifrar nuestro destino. También existe una buena y una mala energía, la cual está vinculada con la “buena o mala onda” de la persona. También resulta muy divertido escuchar a ciertos médicos que practican la llamada medicina cuántica. Las incoherencias y errores conceptuales son magníficos.

Pero, ¿ cuáles pueden ser las conclusiones que se pueden sacar de todo lo anterior ? Considero que son muchas, pero una sencilla es que para el común de la sociedad la alfabetización científica no es importante en términos de cultura general. Sólo se la entiende como un conocimiento propio de unos pocos, que a su vez son considerados como especiales, por no decir raros o hasta extraños.
La falta de alfabetización científica también está relacionada de alguna manera con el hecho de que la sociedad en general no se cuestiona para qué es necesario un médico, un contador, un abogado o un ingeniero, y hasta es probable que vincule la existencia de estas profesiones y la importancia de lo que realizan con el crecimiento de un país y hasta con su grado de independencia económica. Sin embargo, esa misma sociedad no entiende o peor aún, no sabe, para qué puede ser importante que un país tenga matemáticos, químicos, astrónomos o físicos. Sobre los físicos, hasta es probable que ni siquiera sepa a “ciencia cierta” a que se dedican. Por supuesto que en este contexto su existencia no tiene absolutamente nada que ver con el crecimiento y autonomía de un país. Un ejemplo de lo que estoy diciendo lo constituyen las palabras que alguna vez expresó el ministro Cavallo: “que vayan a lavar los platos”, dirigiéndose a los investigadores del CONICET del área de las ciencias básicas.

Todo lo anteriormente expresado, trae aparejado que no se tenga bien en claro cuál es la necesidad y la importancia del estudio de las ciencias exactas en la escuela. No tanto de la Matemática o de la Química, que de alguna forma son más aceptadas, pero sí de la Física. Consecuencia, no se estimula y profundiza la alfabetización en ciencias de los alumnos de escuela primaria y secundaria.

Más grave aún es que la falta de alfabetización científica en la escuela primaria y la escuela secundaria está conduciendo lentamente a que se ponga en duda, por ejemplo, la importancia de la enseñanza de la Física en la formación de los futuros ingenieros. Con asombro he visto cómo en los últimos diez años y en forma progresiva, los nuevos diseños curriculares de la mayoría de las universidades del país, públicas y privadas, redujeron los contenidos de Física (también los de Matemática) para dar lugar a materias de la socialmente denominada “cultura general”, filosofía, economía, idioma, marketing, etc. No quiero poner en duda en estos momento los motivos por los cuales se decidió incorporar estos contenidos. Estimo que sólidos argumentos existirán para esto. Lo que no entiendo es por qué para conseguir mejorar el nivel académico de los alumnos de Ingeniería en áreas tradicionalmente no enseñadas se haya decidido quitar fundamentalmente horas de Física.
Con relación a estas modificaciones, a veces he escuchado como argumentación (que determinaron en algunos casos la destrucción de los programas de Física y la reducción de la actividad de laboratorio), que quitando horas en el ciclo básico se puede hacer ingresar antes al alumno a su futura especialidad (entendible, aunque no lo comparto) o que finalmente no resulte útil a un ingeniero estudiar Relatividad o Mecánica Cuántica, al no tener nada que ver con su futuro laboral.
Estas argumentaciones, me dan la oportunidad de realizar la siguiente reflexión. El conocimiento no tiene sólo un sentido utilitario (ni un sentido puramente económico). No todo se reduce al “para qué me sirve”. Estudiar y entender Física implica el desarrollo de habilidades intelectuales que muy pocas asignaturas están en condiciones de generar, y en lo que tiene que ver con la formación básica del ingeniero, estas habilidades terminan siendo indispensables.
Si además todo tuviera sólo un sentido utilitario seguramente encontraríamos que las carreras de Ingeniería están sobredimensionadas. Por ejemplo, para qué sirve que un Ingeniero Industrial actual sepa cómo funciona una máquina térmica si quizás nunca por motivos de trabajo se encuentre frente a una.
Por otra parte, los países del verdadero primer mundo también tienen en claro la importancia de tener gente que estudie Física (en cualquiera de sus formas: teórica o experimental) y las inversiones que realizan demuestran que la pregunta sobre si estudiar ciencias básicas es importante la tienen contestada.

Finalmente, ¿ contemplan los actuales diseños curriculares de la escuela primaria, secundaria, de las carreras de formación docente para maestros, Ingeniería (entre otras carreras) la falta de cultura tecnológico-científica de los alumnos que ingresan ? ¿ Se realizan acciones para corregir esto ? Considero que no. La continua reducción de los contenidos, la falta de presupuesto para armar laboratorios de Física son una clara demostración de por qué no. La Física en la formación de los niños, adolescentes, futuros maestros e ingenieros (entre otros) es muy importante, ya que a mi entender, es la única materia, dentro de las básicas, que le da “fundamento” a la tecnología.

Considero que los responsables de la enseñanza de las Ciencias Exactas en general y de la Física en particular de nuestro país tenemos un alto grado de responsabilidad en todo lo que he relatado. Como mínimo, no hemos sabido defender los espacios que en alguna época los diseños curriculares nos habían reservado. Pero esto se puede revertir. Personalmente considero muy importante que se revierta o por lo menos que se entienda lo anterior como un problema y la necesidad de buscar entre todos la solución.

Como síntesis de todo lo que quise significar con esta nota pensé en el siguiente desafío: aproveche cualquier reunión de amigos y coménteles que W. Shakespeare, Miguel Angel y J. Kepler fueron contemporáneos. Luego pregúnteles qué conoce de la obra de cada uno de los dos primeros. Luego permítales que hagan una reflexión sobre la importancia de enseñar sus obras en la escuela. Seguramente el resultado será que la mayoría conoce las obras más importantes de ambos y casi ninguno dudará de la importancia de su estudio en la escuela, cosa que comparto.
Luego pregunte a las mismas personas si saben quién fue Kepler y qué fué lo más importante de su obra. Por supuesto, también pregúnteles si creen que es importante que se estudie su obra en la escuela. El resultado no será bueno. En general se desconoce a Kepler y por lo tanto la verdadera dimensión de su trabajo. Luego cuénteles que conoce a alguien que tuvo la suerte de maravillarse frente al David y disfrutar de los frescos de la Capilla Sixtina. Que se conmovió tremendamente con “Macbeth”. Pero lo más interesante es que intente convencer a su interlocutor, de que esa misma persona, que disfruta de los placeres que las artes en general nos brinda, sintió cuando las estudió y siente ahora que las enseña, la misma sensación de placer y belleza por las leyes de Kepler, que frente a la obra de Miguel Angel y Shakespeare. Después de todo Kepler sólo intentó entender “la armonía del Universo”.
Para terminar, como dice la canción, “quien quiera oir que oiga”, pero mucho mejor es “quien pueda hacer que haga”:
· La alfabetización científica en la escuela primaria y secundaria es imprescindible.
· Los diseños curriculares de las carreras de formación docente para maestros y las en las Ciencias Físicas debemos dar una clara respuesta frente al problema carreras de tipo tecnológico, como la Ingeniería, deberían revalorizar los contenidos y actividades de laboratorio relacionadas con la enseñanza de la Física.
· Las Ciencias Exactas también forman parte del patrimonio cultural de un país y son fundamentales para la construcción de un país independiente.
· Los profesionales de la educación que trae su enseñanza y generar la didáctica adecuada para lograr despertar el necesario y merecido interés que por su estudio debieran tener los alumnos.

6. GO !
por Liber Aparisi

El Go es un juego de mesa. Un juego de estrategias sobre un tablero, para jugarlo de a dos (mas bien...contra otro).
Todavía no te vayas!
Porque resulta que es el juego de mesa mas antigüo de todos. (Confucio lo menciona por el año 500 a.c. en sus libros.Y muchos historiadores creen que incluso se lo conocía, en alguna de sus formas mas primitivas, hacia el año 1000 a.c.)
Con lo que tenemos, un juego de mas de 3000 años y que viene del lejano oriente.
No se sabe con precisión, pero las zonas donde se desarrolló fueron las de Asia central, por eso es un juego milenario tanto en China, como en Korea y desde hace muchos siglos en Japón, donde se hizo mas importante.
Viajeros europeos de los siglos XV y XVI dejaron narradas historias sobre el Go, pero recién a fines de 1800 comenzó a conocerse en Europa.
Entonces, tenemos un juego de mesa (que desde el siglo IX no cambia ni la forma del tablero ni sus reglas) que Occidente conoce con un retraso de unos…dos mil años.
Pero, por qué será que es un juego tan querido? Digo, durante miles de años la gente lo elige, no quedó perdido en la historia. De hecho, es bien sabido que jugadores que acreditan un nivel intermedio no precisan hacer el examen de ingreso en muchas universidades de Japón que los jugadores profesionales son exitosos deportistas en las sociedades orientales, los torneos se transmiten por televisión y que desde hace tiempo se habla de su pronta incorporación como deporte olímpico.
Aunque en Europa es un juego/deporte que tiene una presencia centenaria ningún jugador tiene aún el nivel de los jugadores orientales.
En Argentina, uno de los precursores mas importantes fue el ingeniero Hilario Fernandez Long, quien fuera rector de la Universidad de Buenos Aires hasta 1966 (mas precisamente hasta La Noche de los Bastones Largos) Fue uno de los miembros fundadores de la Asociación Argentina de GO en la década del 70.
En la actualidad las principales ciudades del país tienen alguna asociación que nuclea jugadores y acerca este juego a curiosos, principiantes y expertos.
En la ciudad de Buenos Aires un referente importante es la Asociación Argentina del juego de Go que funciona junto a la Asociación Argentina de Ajedrez. Otro es el Centro Okinawense de Buenos Aires, que está cerca de nuestro colegio Mariano Acosta. Es cuestión de googlearlos y enterarse de sus propuestas. Hay clases para principiantes, para muy muy principiantes y por supuesto para todos los niveles; se organizan torneos, tienen material de consulta, y mucho mas.
Desde hace una década se realiza un torneo iberoamericano y en 2008 será sede nuestro país. Este año se realizó en Ecuador y el ganador fue el argentino Fernando Aguilar. Cerca estuvieron ecuatorianos, mexicanos y brasileros.
Entonces, te dieron ganar de conocerlo?
Te adelanto que tiene poquísimas reglas (seis) y son muy sencillas. Las partidas pueden durar desde minutos hasta todo un día y es muy difícil que haya un empate. El tablero es bastante parecido al de Ajedrez, es una cuadrícula de 19x19 líneas. Las fichas se colocan en las intersecciones y como en el ajedrez un jugador juega con blancas y otro con negras pero...las fichas entre sí no tienen jerarquías, todas son iguales, y no saltan ni atacan. Incluso el tablero se comparte desde el inicio, o sea que no hay territorios propios para cada jugador. Y donde uno coloca las fichas ahí quedan. Claro, vos dirás, una vez que los jugadores agregan una a una las fichas se llena el tablero y qué pasa... termina?! No, es que, y ahí viene la idea del juego, la cuestión es rodear al enemigo, encerrarlo, entonces las fichas encerradas son retiradas. Acá no se trata de derrocar a un tirano, a un rey y a su esposa. Nada de eso, se inmoviliza al otro con mucha paciencia y astucia. Y vale tanto el análisis estratégico como la intuición y principalmente el lograr conocer al adversario. Porque en el Go (llamado Igo en Japón, Baduk en Korea y Wei Qi en China) sale mas rápido a la luz el carácter del otro que su habilidad en el juego. Y muchas veces rinde mas dejar un señuelo y hacer buena defensa que la propuesta de un ataque continuo. En general, es buena idea atacar tanto como defender.

Por último, si luego de leer este artículo, un día mientras lees tus correos te dan ganas de echar una mirada en la página de la Asociación Argentina de Go, bueno, seguro también vas a querer probar con un partidito. Entonces, nos encontramos en yahoo! juegos, en alguno de los salones de juegos (nunca hay menos de 300 personas). Está bueno, te puede pasar que jugas una partida con un califoriano y al rato con un español y así. Y si te cargan porque perdes seguido, es que te cruzaste con algún argentino. Luego en caso de seguir con ésto del Go seguro usarás otros servidores mas importantes como el IGS Pandanet por poner ejemplo.

Pero creo que independientemente del nivel que vayas a conseguir, vas a ir jugando y seguro te va ir pareciendo siempre cada vez mas interesante.

7. ¿ QUÉ HACEMOS CON EL "CERO" ?
por Ariel Puntano

Muchos textos de Matemática de nivel medio suelen explicar que los números naturales son aquellos que utilizamos en la vida cotidiana para contar, y que reciben ese nombre porque fueron los primeros utilizados por el ser humano para enumerar objetos de la naturaleza. Así obtenemos N = {1; 2; 3; 4;…}. A esta sucesión 1, 2, 3… se la llama “sucesión fundamental”. En esos mismos textos, cuando se incluye al cero se habla de No = {0, 1; 2; 3; 4;…}. El 0 no es considerado un número natural. Otros textos, en cambio, especialmente los más recientes, sí incluyen al 0 en la sucesión fundamental y consideran que N = {0, 1; 2; 3; 4;…}. Entonces ¿el cero es un número natural o no? Si no es natural ¿por qué lo utilizamos en las operaciones con naturales? ¿Acaso la ley de cierre no dice: a + b = c / a, b y c Î N?

§ 1. Introducción

A la hora de encuadrar al 0 en el contexto de los conjuntos numéricos aparecen controversias y, aunque debemos ser muy cuidadosos con el lenguaje matemático que utilizamos, muchos libros de texto son poco claros al respecto. Si hablamos de números solamente, muchos matemáticos definen a la sucesión de números naturales como aquella formada por la sucesión fundamental 1, 2, 3 4… que comúnmente se utilizan para contar objetos. Pero si hablamos de conjuntos, los números naturales están formados por la sucesión fundamental más el cero, ya que en la teoría de conjuntos los números se utilizan para contar elementos de un conjunto. Por ello debemos ser prudentes al transmitir estos conceptos de objetos y elementos, que son abordados por dos teorías diferentes: la Teoría de Números y la Teoría de Conjuntos.
La lectura de varios artículos y libros, tanto de nivel medio como superior, me ha llevado a desarrollar este trabajo que puede ayudarnos a los docentes y futuros docentes a abordar correctamente todos los temas en los que puede haber confusiones de lenguaje.

§ 2. Historia de los números naturales

Aun antes de que surgieran los números escritos, el hombre ya se las ingenió para contar utilizando para ello piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas o, simplemente, los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en varas o trazos específicos sobre la arena.
Fue en la Mesopotamia, alrededor del año 4.000 a. C., donde aparecen los primeros vestigios de números propiamente dichos, que consistían en marcas con forma de cuña (de aquí el nombre de escritura cuneiforme) que eran grabadas sobre pequeñas tablas de arcilla usando palillos aguzados. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los griegos y romanos.
Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los romanos, además de las letras, utilizaron otros símbolos.
Para llegar a la numeración que admite el valor relativo de las cifras y que simplifica tanto la escritura como los cálculos, fue preciso crear el número cero. Fueron los hindúes quienes, a principios de nuestra era, comenzaron a representar el cero primero mediante un punto, después usando un círculo y por último un óvalo. El conocimiento del cero pasó a los árabes y a través de ellos llegó a la civilización europea.
§ 3. El camino para definir el concepto de número natural
A fines del siglo XIX muchos brillantes matemáticos alemanes trabajaban en el problema de definir rigurosamente los conceptos matemáticos fundamentales. Entre estos matemáticos estaban Karl Weierstrass, Richard Dedekind y Georg Cantor, siendo este último quién realizó el primer estudio formal de la teoría de conjuntos.
Richard Dedekind definió a los números naturales sobre una base sólida, aunque derivó sus propiedades de una serie de postulados que implicaban que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta. Estos postulados fueron posteriormente formulados con más precisión por G. Peano, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. (Existen dos versiones de los postulados de Peano, en el presente artículo analizaremos ambas.)
Pero fue Gottlob Frege quien se dedicó a la fundamentación de los números naturales con más profundidad y rigor. Frege no dio por supuesta la existencia de los números naturales, sino que demostró esta existencia partiendo de principios más fuertes, ligados a la lógica y la teoría de clases (o conjuntos). Sin embargo la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, cuando Bertrand Russell demostró que sus métodos estaban basados en principios contradictorios.
Russell analizó las clases, especialmente la clase de todas las clases. Ésta contiene clases de dos tipos: aquellas que se contienen a sí mismas como elementos, y aquellas que no. Si Y es la clase de las clases que no se contienen a sí mismas entonces resulta que “Y es un miembro de Y si y sólo si Y no es un miembro de Y”. Esta contradicción marca una falta grave en el llamado principio de comprensión (uno de los principios de la teoría de Frege) que dice que a cada propiedad le corresponde una clase. Este hallazgo de Russell paralizó el proyecto de Frege de reducir la aritmética a lógica y la teoría de clases. En 1903 el propio Russell publicó Principios de las Matemáticas, en el cual ofrece un primer intento de resolver la paradoja que él mismo había hallado. Intento que a la larga también fracasó.
Fue finalmente E. Zermelo, hacia 1908, el primero en dar axiomas adecuados para la teoría de conjuntos y quien demostró, a partir de esos mismos axiomas, la existencia del conjunto de los números naturales. Modificaciones posteriores del sistema de Zermelo, debidas a Adolf Fraenkel y John von Neumann, permiten construir a cada número natural como un conjunto en sí mismo dento del contexto de los llamados números ordinales.
Como vemos, el camino recorrido por los matemáticos para definir los números naturales tiene una larga historia de idas y venidas.

§ 4. Los números naturales según la Teoría de Conjuntos

El primer estudio formal sobre la teoría de conjuntos fue realizado por el matemático ruso–alemán Georg Cantor a mediados del siglo XIX. Cantor definió a los conjuntos de la siguiente manera:

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

Es importante aclarar que Cantor utiliza la palabra “objetos”, pero luego es reemplazada por “elementos”. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
De la relación entre distintos conjuntos surge el concepto de número natural. En el siguiente diagrama se relaciona cada elemento de A con un elemento de B.

Gráfico Nº1

Queda establecida una correspondencia “uno a uno”, de A hacia B. También se pueden relacionar de la misma manera los elementos de B con los de A.
Esta correspondencia “uno a uno” y su recíproca se llama correspondencia biunívoca. Cuando es posible establecer una correspondencia de este tipo entre dos conjuntos se dice que estos son coordinables o equipotentes.
La propiedad común de todos los conjuntos finitos que son coordinables o equipotentes es el cardinal de esos conjuntos. Si dos conjuntos son equipotentes tienen el mismo número natural o el mismo cardinal.

La equipotencia permite clasificar los conjuntos.

*El conjunto vacío forma una clase.
*Los conjuntos unitarios otra clase.
*Los conjuntos binarios otra clase.

Y así sucesivamente.
Al número o cardinal de cada clase se le asigna un nombre y se lo representa por un símbolo o numeral (#). Al número de la clase vacía lo llamamos CERO:

Card.{} = #{} = 0
Al número de la clase de los conjuntos unitarios lo llamamos UNO:

Card. {0} = #{0} = 1

Al número de la clase binaria o de pares los llamamos DOS:

Card. {Ñ; ÿ} = #{0; 1} = 2

Y así seguimos:

Card. {Ñ; ÿ; *} = #{0; 1; 2} = 3

Estos números se llaman naturales N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}.
§ 5. Los números naturales según la Teoría de Números

Los axiomas de Peanos o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) a fines del siglo XIX. Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:

1) 1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío)

2) Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).

3) 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto)

4) Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.

5) Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

El sistema axiomático de Peano es esencialmente ordinal, y define al conjunto de los números naturales algebrizando con las operaciones de adición y multiplicación.
Los axiomas de Peano tal como fueron originalmente escritos (en latín) dicen:

Términos primitivos: “1(uno)”; “número” y “sucesor”

Postulados o axiomas:
- 1 es un número
- El sucesor inmediato de un número también es un número
- 1 no es el sucesor inmediato de ningún número
- Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato
- Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números (inducción matemática)
Definiciones:
I) de adición
a) a + 1 = S(a) cualquiera sea a Î N
b) a + S(b) = S(a + b) cualesquiera que sean a y b en N

II) de multiplicación
a) a . 1 = a para todo a Î N
b) b) a . S(b) = a . b + a cualesquiera sean a y b en N
§ 6. Otra forma equivalente de la teoría de Peano

En el conjunto N no figura como elemento el 0. Peano mismo lo introdujo en otra versión publicada en 1895 en la Rivista di matematica, y muchos autores prefieren incluirlo. En este caso los axiomas no se modifican esencialmente, salvo que el 1 se sustituye por el símbolo 0. Sin embargo hay que cambiar las definiciones de adición y multiplicación.
Términos primitivos: cero (0), número y sucesor o siguiente, más la noción de clase, que en Peano es casi sinónimo de propiedad. Peano especifica que No es una clase, aunque “número” es un nombre común.
Los postulados son:
- el cero es un número
- el sucesor (el siguiente) de un número es un número
- si el cero pertenece a una clase (= cumple una propiedad) tal que el sucesor de todo número que pertenece a la misma (= que cumple la propiedad) también pertenece (= la cumple),entonces todos los números pertenecen a la clase (= cumplen la propiedad); o como él comenta, o es la mínima clase que satisface .0, .1, .2.,
- dos números sólo pueden tener el mismo sucesor si son iguales, y
- el cero no es sucesor de ningún número.

Definiciones de adición y multiplicación:
I) Adición
a) a + 0 = a
b) a + S(b) = S(a + b)

II) Multiplicación
a) a . 0 = 0
b) a . S(b) = a .b + a

En este caso se define 1 = S(0)

En el lenguaje conjuntista actual, se resumirían en:
Existe un conjunto N, una aplicación sgt : N à N, y un elemento 0 Î N tales que sgt es inyectiva, 0 Ï sgt(N), y si S Í N es tal que 0 Î S y sgt(S) Í S, entonces S = . (Donde “sgt” significa siguiente).
Peano elaboró sus axiomas en un momento (finales del siglo XIX) en el que la búsqueda de una fundamentación sólida para todas y cada una de las partes de las Matemáticas se sentía como una necesidad inaplazable. Diversas crisis de la intuición (la demostración de Beltrami de que las geometrías no euclídeas eran tan firmes como la euclídea, la creación de la teoría de conjuntos por Cantor) hicieron a los matemáticos tremendamente desconfiados hacia lo que, hasta entonces, había sido tenido por indudable. Esta desconfianza en la intuición llevó a un reforzamiento del rigor y a una revisión de todo lo que se daba por evidente, intentando reducir “lo evidente” a la mínima expresión.

§ 7. Conclusiones

Para evitar confusiones en general se adopta:

No designa el conjunto de números naturales con el CERO.

No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Está formado por la sucesión fundamental y el cero.

N designa el conjunto de números naturales sin el CERO.

N = { 1, 2, 3, 4, 5,…}
Está formado por la sucesión fundamental.

Esta aclaración es importante para no perder de vista el concepto numérico del cero, aunque de la Teoría de Conjuntos se desprende que el cero es natural, ésta notación es la más generalizada, siempre que se tenga en cuenta que el cardinal del conjunto vacío es el cero, es un número que representa al cardinal de la clase vacía pero dentro de la misma teoría de conjuntos.
Si lo analizamos desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, teniendo en cuenta lo anterior.

(N; +) es monoide
+ es ley de composición interna

(N; +) es semigrupo conmutativo
+ es ley de composición interna
No tiene elemento neutro, si existe elemento neutro se dice que el semigrupo tienen unidad.
En cambio:
(No; +) es semigrupo conmutativo con unidad.
+ es ley de composición interna
Tiene elemento neutro, el cero.

Para ser grupo deben cumplir: ley de composición interna, asociativa, con neutro y además inverso. En caso de ser conmutativo será grupo abeliano.

(N; +) no es grupo
+ es ley de composición interna
No tiene elemento neutro, ni inverso aditivo.

(No; +) No es grupo
+ es ley de composición interna
Tiene elemento neutro, el cero. Los demás elementos carecen de inverso aditivo.

Si lo analizamos desde un punto de vista más elemental, de nivel secundario, podríamos analizar las propiedades de la suma en el conjunto de los números naturales.
Ley de cierre o clausura:
" a, b Î N $ c / a + b = c Ù c Î N
Ejemplo: 2 + 3 = 5 , 2, 3 y 5 Î N

Contraejemplo: 2 + 0 = 2, 2 Î N , pero 0 Ï N

Además no existe elemento neutro.
Por ello es importante mencionar que en el nivel medio o secundario siempre utilizamos No , y no N.
Por ello la ley de clausura es:
" a, b Î No : $ c / a + b = c Ù c Î No
Aunque sabemos que la inclusión o no del cero, como se ha podido observar a lo largo del artículo es aún un tema de controversia, los docentes debemos adoptar una postura razonable, la de explicar con términos sencillos sin perder la rigurosidad matemática, que no todo está dicho en las ciencias matemáticas, y que sólo para facilitar el entendimiento y el razonamiento en esta disciplina se adopta por simple generalidad:
No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
N = { 1, 2, 3, 4, 5,…}
Hypatia, la Filósofa
Una Revista de Profesores y Futuros Profesores,
del Centro de Actualización e Innovación Educativa
del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”. Por ello la respuesta a la pregunta: ¿Qué hacemos con el cero? Es, “depende para qué”. En el nivel medio necesito del cero para poder operar con números naturales y a ese conjunto lo llamo No. Por ello en muchos textos del nivel medio se trabaja con ésta simbología y de ésta manera. Aunque algunos autores cometen ciertos errores de nomenclatura como el que analizamos en el caso de la ley de cierre, que puede confundir al alumno, el docente debe estar allí para explicarle las ambigüedades que podemos encontrar y por qué.
Como docentes y futuros docentes, debemos analizar bien las palabras y deducciones que llevamos a las aulas para dejar en los alumnos una impronta que marque la necesidad de recurrir a la matemática con el interés de una ciencia abierta y susceptible de cambios.

Bibliografía
1. BOGANI, G., DESTUET, E., y OHARRIZ, M.; Matemática 1. Plus Ultra, Buenos Aires, 1994.
2. CANTOR, G.; Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Escritos y correspondencia selecta). Edición de José Ferreiros. Crítica, Barcelona, 2006.
3. KLINE, M.; Matemáticas, la pérdida de la certidumbre. Siglo XXI editores, México, 1985.
4. REPETTO, C., LINSKENS M. y FESQUET, H.; Aritmética I. Kapelusz 18ª edición, Buenos Aires, 1967.
5. ROJO, A.; Álgebra I. El Ateneo 16ª edición, Buenos Aires, 1992.
6. RUSSELL, B.; Introducción a la Filosofía Matemática. Paidós, Buenos Aires, 1988 (originalmente escrito en 1918).
7. TAPIA, N.; y otros.; Matemática 1. Estrada, Buenos Aires, 1995.
8. VIDAL, R.; Álgebra lineal. Tomo I. Edicitex, Buenos Aires, 1984.

Citas Bibliográficas

[1] Derrida, Jacques, De la gramatología, México, Siglo XXI editores, 4a. ed., 1986, p. 19.
[2] Derrida, J., op. cit., p. 20.
[3] Op. cit., p. 21.
[4] Op. cit. p. 52.
[5] Op. cit., p. 56.
[6] Derrida, op. cit. p. 13.
[7] Derrida, op. cit., p. 339.
[8] Derrida, J. op. cit., p. 130.
[9] Op. cit, p. 131.
[10] Derrida, J., op. cit., p. 15
[11] Op. cit., p. 52.
[12] Op. cit., p. 60.
[13] Op. cit., p. 63.
[14] Op. cit., p. 64.
[15] No hacían distinción entre la Luna y el Sol, con lo que ahora nosotros llamamos planetas, ya que en definitiva eran cuerpos que se movían en el cielo como ellos.
[16] Comentaristas posteriores forzando las ideas de Filolao unen la Tierra con la Anti-Tierra en una esfera única encerrando al fuego central. Muchas culturas asociaban la idea de este Fuego Central, con la del infierno bíblico, donde también lo coloca Dante en su Divina Comedia.-
[17] 223 meses sinódicos o 242 draconíticos o 18 años y 11 días
[18]Frigerio, Poggi, Tiramonti: 1992.
[19]Sadovsky: 2005.
[20]Pulfer: 2005.
[21]Castells: 1998
[22]Tenti Fanfani: 2000.
[23]Tedesco: 2006.
[24]Tedesco: 2006.
[25]Púlfer: 2007.